（12分）设△三边长为，与之对应的三条高分别为，若满足关系：

（Ⅰ）求证：是△的面积）；

（Ⅱ）试用表示，并求出角的大小．

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围建一个面积为360 m²的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)

(1)将y表示为x的函数；

(2)写出f(x)的单调区间，并证明；

(3)根据(2)，试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

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已知椭圆的焦距为，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为，为坐标原点.
（1）求椭圆的方程.
（2）设斜率为的直线与相交于、两点，记面积的最大值为，证明：.

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一．选择题：AACBD DCDAD

解析：1：可以判定对应法则是从A到C的函数（，且是该函数的值域），于是对于实数,在集合A中不存在原象,则的取值范围构成集合，注意到，故，.

从而答案为A.

2： 前三年年产量的增长速度越来越快，总产量C与时间t（年）的函数关系，在图上反映出来，当时是选项A、C中的形状；又后三年年产量保持不变，总产量C与时间t（年）的函数关系应如选项A所示,于是选A.

3： 利用图象法求之．其中F(x)= 于是选C

4：由题意得_，      于是  于是选B

5：⑴静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选B；

⑵静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选C；

⑶静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选A。

于是三种情况均有可能，故选D。

6：用条件代入计算，不难得到结论为D.

7：解法一   因ysinx+cosx=2，故．

由，得 ，于是．   因0＜x＜π，故y＞0．又当时，．若x=,有，故y_min=，选C．

解法二    由已知得：ysinx = 2 - cosx，于是y²(1-cos²x) = (2-cosx)²．

将上式整理得：(y²+1)cos²x-4cosx+4-y²=0．于是，ㄓ=16-4(y²+1)(4-y²)=4y²(y²-3)≥0．

因0＜x＜π，故y＞0，于是y≥，而当y=时，ㄓ=0，cosx=，x=满足题设，于是y_min=，选C．

解法三  设，则，当且仅当

，即，亦即x=时，取“=”，故y_min=，选C．

解法四   如图，单位圆中，∠MOt = ，P(2,0)，M(cosx，sinx)，．

因，故∠AOP=，∠APt =，

，从而，(k_PM)_min=．

8：由于函数的图像关于原点中心对称，则

为奇函数，于是，，从而，，当，验正之选D．

9：集合A的子集为共8个，

集合A的一个分拆可以列表如下：

A₁

A₂

A₁

A₂

， 

，，

，

，，，，，

共有27个，选A.

 10：从10个不同的点中任取4个点的不同取法共有=210种，它可分为两类：4点共面与不共面．

       如图1，4点共面的情形有三种：

       ①取出的4点在四面体的一个面内（如图中的AHGC在面ACD内），这样的取法有种；

②取出的4面所在的平面与四面体的一组对棱平行（如图中的EFGH与AC、BD平行），这种取法有3种（因为对棱共3组，即AC与BD、BC与AD、AB与CD）；

③取出的4点是一条棱上的三点及对棱中点（如图中的AEBG），这样的取法共6种．

综上所述，取出4个不共面的点的不同取法的种数为-（+3+6）=141种．

故所求的概率为，答案选D．

二．填空题：11、91万元；   12、； 13、②⑦④；    ②④⑦；   ④②⑦；   ⑤②④；   ⑤④②；   ④⑤②．  14、：y²=x；    15、；

解析：

11：不少于1万元的占700万元的21%， 为700×21%=147万元．

1万元以上的保单中，超过或等于2.5万元的保单占，

金额为×147=91万元，故不少于2.5万元的保险单有91万元。

12：原不等式可化为：（1），即；

（2）解得；（3）即， 综上得：

13：根据三角函数的图像的变换情况，不难得出下列6种变换：

②⑦④；    ②④⑦；   ④②⑦；   ⑤②④；   ⑤④②；   ④⑤②．

14：依题意有 ，即，消去参数，可得：y²=x

15：连结AD、DE，则AD=DE， ，又，

，，即=，即，

三．解答题：

16．解：（1）      ………………2分

       ……………………………………6分

   （2）

①当时，当县仅当时，取得最小值－1，这与已知矛盾；…8分

②当时，取得最小值，由已知得

；……………………………………………………………10分

③当时，取得最小值，由已知得

  解得，这与相矛盾，综上所述，为所求。……………………12分

17、解：（1）记“抛掷1枚硬币1次出现正面向上”为事件A，P（A）=，抛掷15枚硬币1次相当于作15次独立重复试验，根据次独立重复试验中事件A发生K次的概率公式，记至多有一枚正面向上的概率为P₁

则P₁= P₁₅（0）+ P₁₅（1）=+=          ……………6分

  （2）记正面向上为奇数枚的概率为P₂，则有

P₂= P₁₅（1）+ P₁₅（3）+…+ P₁₅（15）=++…+

        =+…+)?     ………………………10分

又“出现正面向上为奇数枚”的事件与“出现正面向上为偶数枚”的事件是对立事件，记“出现正面向上为偶数枚”的事件的概率为P₃

 P₃=1?=         

出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率相等   ………12分

18、解：（Ⅰ）；                              ……2分

（Ⅱ）性质①、②均可推广，推广的形式分别是：

①，         ②    ……4分

事实上，在①中，当时,左边，    右边，等式成立；

当时，左边

            ，  因此,①成立；               ……6分

在②中，当时,左边右边，等式成立；

当时，

左边

右边，

因此  ②成立。                ……8分

（Ⅲ）先求导数，得.

令>0,解得x<或 x>.

因此，当时,函数为增函数,              ……11分
当时,函数也为增函数。

令<0,解得<x<.
因此,当时,函数为减函数.                ……13分

所以，函数的增区间为，

函数的减区间为                  ……14分

19、解：（Ⅰ）如图所示：

C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）

………………………………………………………5分

（Ⅱ）①

……………………………………………………………………………8分

②,

，

③；         ……………………………………14分

20、解：（1）依题意，⊙的半径，

⊙与⊙彼此外切，

                   …………………………………2分   

    两边平方，化简得     ,

    即      ,           …………………………………4分

     ，             

       ，    ∴ 数列是等差数列．     …………………7分

(2) 由题设，，∴，即，          

    ，

           …………………………………9分                    

      ＝ ………………12分     

＝

      ．    …………………………………14分

21：（Ⅰ）证明：由题意设

       由得，则              所以

       因此直线MA的方程为　　　

直线MB的方程为…………………2分

       所以①  ②

由①、②得　  因此　，即

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. …………………4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x₀=2时，  将其代入①、②并整理得：

       　　所以　x₁、x₂是方程的两根，

       因此   又  

所以                                     …………………6分

       由弦长公式得

又， 所以p=1或p=2，

因此所求抛物线方程为或…………………8分

（Ⅲ）解：设D(x₃,y₃)，由题意得C(x₁+ x₂, y₁+ y₂),

        则CD的中点坐标为

       设直线AB的方程为

       由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，

       代入得

       若D（x₃,y₃）在抛物线上，则

       因此　x₃=0或x₃=2x₀.

        即D(0，0)或    …………………10分

（1）当x₀=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意. ………………11分

（2）当，对于D(0，0)，此时

       又AB⊥CD， 所以………………12分

即矛盾.

对于因为此时直线CD平行于y轴，

又

所以　　直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，

所以时，不存在符合题意的M点.

综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意. ………………………………14分