题目列表(包括答案和解析)
．(本小题满分12分)
有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面(编号为①②③④⑤⑥)上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5，若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用
表示更换的面数，用
表示更换费用。
(1)求①号面需要更换的概率；
(2)求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；
(3)写出的分布列，求的数学期望。
（本小题满分12分）
一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到
，记为
；②当从A口输入自然数
时，在B口得到的结果
是前一个结果
的
倍.
（1）当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想的关系式，并证明你的结论；
（2）记
为数列
的前
项的和。当从B口得到399的倒数时，求此时对应的的值.
（本小题满分12分）
一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到
，记为
；②当从A口输入自然数
时，在B口得到的结果
是前一个结果
的
倍.
（1）当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想的关系式，并证明你的结论；
（2）记
为数列
的前
项的和。当从B口得到399的倒数时，求此时对应的的值.
（本小题满分12分）
一种信号灯，只有符号“√”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“√”和“×”两者之一，其中出现“√”的概率为
，出现“×”的概率为
，若第
次出现“√”，记为
，若第次出现“×”，则记为
，令
，
（1）求
的概率；
（2）求
，且
的概率．
（本小题满分12分）一列火车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v(t)=5-t+
(单位：m/s)紧急刹车至停止。求：（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后火车行驶的路程。
一．选择题：DABBB ACACA
解析：1：由题干可得：
故选
.
2：
为抛物线
的内部（包括周界），
为动圆
的内部（包括周界）.该题的几何意义是
为何值时，动圆进入区域
，并被所覆盖.
是动圆圆心的纵坐标，显然结论应是
，故可排除
，而当
时，
（可验证点
到抛物线上点的最小距离为
）.故选
.
3：由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函数，得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以选B.
4：取a＝100，b＝10，此时P＝
，Q＝
＝lg
，R＝lg55＝lg
，比较可知选P
QR，所以选B
5： f(x＋
)＝sin[
－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x).所以应选B；
6：在同一直角坐标系中作出圆x
＋y＝4和直线4x＋3y－12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A.
7：不等式的“极限”即方程，则只需验证x=2，2.5，
和3哪个为方程
的根，逐一代入，选C.
8：当正n棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时，则底面正多边形便为极限状态，此时棱锥相邻两侧面所成二面角α→π，且小于π；当棱锥高无限大时，正n棱柱便又是另一极限状态，此时α→
π，且大于π，故选（A）.
9：取满足题设的特殊函数f(x)=x，g(x)=|x|,则f(b)-f(-a)=a+b，g(a)-g(-b)=a-b，又f(a)-f(-b)=a+b，g(b)-g(-a)=b-a；∴选(C).
10:作直线和圆的图象,从图中可以看出:
的取值范围应选(A).
二．填空题：11、
；
12、
；
13、
；
14、(x－1)2＋(y－1)2＝2；15、
；
解析：
11：根据不等式解集的几何意义，作函数
和
函数
的图象（如图），从图上容易得出实数a的取
值范围是。
12： 应用复数乘法的几何意义，得
，
于是 
故应填
13：中奖号码的排列方法是： 奇位数字上排不同的奇数有
种方法，偶位数字上排偶数的方法有
，从而中奖号码共有
种，于是中奖面为
故应填
14：解：由
得
=
，
，化简得(x－1)2＋(y－1)2＝2
15.解：依题意，
=2，
5，
=15，
=
三．解答题：
16.解：（1）由
，解之得
……………………5分
（2）
…………………………9分
…………………………11分
…………………………12分
17.解：（I）
的取值为1，3，又
|
…………12分
是奇函数，则
∴
…………………………2分
得
解得
， ∴
，
………………6分
时
，
…………………………8分
，即函数
上为减函数． …………………………9分
得
…………………………11分
，
，∴
，
上为增函数 …………………………13分
取得最小值
. ………14分
―
的侧棱长为
．取
中点
，连
．
是正三角形，
． …………………………2分
侧面
，且交线为
侧面
，则直线
．
……………………4分
中，
，解得
．
． …………………………5分
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系
．
． …………………………7分
为平面
的法向量．
得
． 
…………………………9分
的一个法向量
． 
的大小为
…………………………11分
…………………………12分
到平面
的距离
＝
，解得
，
∴
即
------------------------------2分
……………………………………………..4分
………………………………………………………..6分
……8分
；n=2时，
；n=4时，
；n=6时，
…………………………………………9分
时
下面用数学归纳法给出证明
，已证…………………………………………………….10分
时结论成立即
范围内，
恒成立,则
，即
;当n=3时,
;当n=1或
)，F(0，
，
)，B(
，
)
，
，Q(
). …………………………2分
得
.
…………………………3分
÷p.
?
的取值范围是
. …………………………4分
，求导得
.
=y 
.
即
.
…………………………6分
解得
∴N(
)
…………………………7分
. ∴
. …………………………9分
.又根据(Ⅰ)知
=(－pk，p)， 
.
…………………………11分
，|
|=
.
的取值范围是［5
，20