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    (Ⅲ)试求函数在区间上的最小值． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设函数在区间上的最小值为令
    ．
    （Ⅰ）求；
    （Ⅱ）试求所有的正整数，使得为数列中的项；
    （Ⅲ）求证：                                    

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    设函数在区间上的最小值为令

    ．

    （Ⅰ）求；

    （Ⅱ）试求所有的正整数，使得为数列中的项；

    （Ⅲ）求证：                                    

     

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    设函数在区间上的最小值为令
    ．
    （Ⅰ）求；
    （Ⅱ）试求所有的正整数，使得为数列中的项；
    （Ⅲ）求证：                                    

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    已知函数在区间（0，∞）上的最小值是an（n∈N*）．
    （1）求an；
    （2）设Sn为数列的前n项的和，求Sn的值；
    （3）若 ，试比较Tn与Tn+1的大小．

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    （1）已知函数f(x)=a|x|+
    2
    ax
    (a＞0，a≠1)    ，
    （Ⅰ）若a＞1，且关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；
    （Ⅱ）设函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），g（x）满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关．试求a的取值范围．
    （2）已知函数f（x）=lnx-mx+m，m∈R．
    （I）求函数f（x）的单调区间；
    （Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，求证：
    f(b)-f(a)
    a-b
    ＜
    1
    a(1+a)
    .

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    一．选择题：DABBB ACACA

    解析：1：由题干可得：故选.

    2：为抛物线的内部（包括周界），为动圆的内部（包括周界）.该题的几何意义是为何值时，动圆进入区域，并被所覆盖.

    是动圆圆心的纵坐标，显然结论应是，故可排除，而当时，（可验证点到抛物线上点的最小距离为）.故选.

     

    3：由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函数，得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以选B.

     

    4：取a＝100，b＝10，此时P＝，Q＝＝lg，R＝lg55＝lg，比较可知选PQR，所以选B

    5： f(x＋)＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x).所以应选B；

     

    6：在同一直角坐标系中作出圆x＋y＝4和直线4x＋3y－12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A.

    7：不等式的“极限”即方程，则只需验证x=2，2.5，和3哪个为方程的根，逐一代入，选C.

    8：当正n棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时，则底面正多边形便为极限状态，此时棱锥相邻两侧面所成二面角α→π，且小于π；当棱锥高无限大时，正n棱柱便又是另一极限状态，此时α→π，且大于π，故选（A）.

    9：取满足题设的特殊函数f(x)=x，g(x)=|x|,则f(b)-f(-a)=a+b，g(a)-g(-b)=a-b，又f(a)-f(-b)=a+b，g(b)-g(-a)=b-a；∴选(C).

     

    10:作直线和圆的图象,从图中可以看出:

    的取值范围应选(A).

     

     

    二．填空题：11、；  12、；

    13、；   14、(x－1)2＋(y－1)2＝2；15、；

    解析：

    11：根据不等式解集的几何意义，作函数和

    函数的图象（如图），从图上容易得出实数a的取

    值范围是。

    12：　应用复数乘法的几何意义，得

    　　　　　

    　　　　　　，

    于是　　　     故应填　

    13：中奖号码的排列方法是：　奇位数字上排不同的奇数有种方法，偶位数字上排偶数的方法有，从而中奖号码共有种，于是中奖面为

      故应填

    14：解：由得=，

    ，化简得(x－1)2＋(y－1)2＝2

    15.解：依题意，=2，5，=15，=

    三．解答题：

    16.解：（1）由，解之得  ……………………5分

    （2）  …………………………9分

             …………………………11分

      …………………………12分

    17.解：（I）的取值为1，3，又

    ξ

    1

    3

    P

     

     

           ∴ξ的分布列为                                   …………………………5分

     

           ∴Eξ=1×+3×=.                        ………………………………6分

       （II）当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知

           若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；

           若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次.

           故此时的概率为…………12分

    18.解：（Ⅰ）∵函数是奇函数，则

    即   ∴   …………………………2分

    由得   解得

    ∴，．   …………………………5分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，     ∴，   ………………6分

    当时，  …………………………8分

     ∴，即函数在区间上为减函数．   …………………………9分

    （Ⅲ）由＝0，得   …………………………11分

      ∵当，，∴ ， 

     即函数在区间上为增函数   …………………………13分

    ∴是函数的最小值点，即函数在取得最小值.  ………14分

    19.解：（Ⅰ）设正三棱柱―的侧棱长为．取中点，连．

    是正三角形，．  …………………………2分

    又底面侧面，且交线为． 侧面．

    连，则直线与侧面所成的角为．   ……………………4分

    在中，，解得．

    此正三棱柱的侧棱长为．  …………………………5分

    （Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系．

    则．  …………………………7分

    设为平面的法向量．

    由 得．

    取                       …………………………9分

    又平面的一个法向量

    ．

    结合图形可知，二面角的大小为  …………………………11分

     

    （Ⅲ）：由（Ⅱ）得  …………………………12分

    点到平面的距离＝

                                                 …………………………14分

    20.解：（Ⅰ）当时，原不等式即，解得，

        ∴ 即------------------------------2分

    (Ⅱ)原不等式等价于

    ……………………………………………..4分

    ………………………………………………………..6分

    ∴……8分

    （Ⅲ）∵

    n=1时，；n=2时，

    n=3时，；n=4时，

    n=5时，；n=6时，…………………………………………9分

    猜想：时 下面用数学归纳法给出证明

    ①当n=5时，，已证…………………………………………………….10分

    ②假设时结论成立即

    那么n=k+1时，

    在范围内，恒成立,则，即

    由①②可得，猜想正确，即时，…………………………………..  13分

    综上所述：当n=2,4时,;当n=3时,;当n=1或时;---14分

    21．解：（Ⅰ）由条件得M(0，－)，F(0，).设直线AB的方程为

           y=kx+，A(，)，B(，)

           则，，Q().   …………………………2分

           由得.

           ∴由韦达定理得+=2pk，?=－    …………………………3分

           从而有= +=k(+)+p=2pk÷p.

           ∴?的取值范围是.      …………………………4分

       （Ⅱ）抛物线方程可化为，求导得.

           ∴       =y     .

           ∴切线NA的方程为：y－即.

           切线NB的方程为：  …………………………6分

           由解得∴N()

           从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同.

           ∴NQ∥OF.即    …………………………7分

           又由（Ⅰ）知+=2pk，?=－p

           ∴N(pk，－).      …………………………8分

           而M(0，－)  ∴

           又. ∴.       …………………………9分

       （Ⅲ）由.又根据(Ⅰ)知

           ∴4p=pk，而p>0，∴k=4，k=±2.   …………………………10分

           由于=(－pk，p)，  

           ∴

           从而.         …………………………11分

           又||=，||=

           ∴.

           而的取值范围是［5，20］.

           ∴5≤5p2≤20，1≤p2≤4.   …………………………13分

           而p>0，∴1≤p≤2.

           又p是不为1的正整数.

           ∴p=2.

           故抛物线的方程：x2=4y.      …………………………14分


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