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题目列表(包括答案和解析)
（10分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA⊥平面ABCD，
且PA=2AB
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求二面角B—PC—D的余弦值.
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一、选择题：
DDCBA BBDDA
ycy
11．0 12．（±1，0） 13．1 14．②④ 15 706
三、解答题：
16．解： 2分
（Ⅰ） 4分
（Ⅱ）由
单调递增区间为 8分
（Ⅲ）
由 12分
17．解：（Ⅰ） 6分
18．解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BD
∵ABCD为正方形 ∴AC⊥BD
∴BD⊥平面PAC又BD在平面BPD内，
∴平面PAC⊥平面BPD 6分
（Ⅱ）解法一：在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N，连DN，
∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；
∴∠BND为二面角B―PC―D的平面角，
在△BND中，BN=DN=，BD=
∴cos∠BND = 12分
解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系如图，在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N连DN，
∴∠BND为二面角B―PC―D的平面角 8分
设
10分
12分
解法三：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间坐标系，作AM⊥PB于M、AN⊥PD于N，易证AM⊥平面PBC，AN⊥平面PDC，
∵二面角B―PC―D的平面角与∠MAN互补
∴二面角B―PC―D的余弦值为 12分
19．解：（Ⅰ）
4分
又∵当n = 1时，上式也成立， 6分
（Ⅱ） 8分
又
①
②
①－②得：
20．解：（Ⅰ）由知M是AB的中点，
设A、B两点的坐标分别为
由
，
∴M点的坐标为 4分
又M点的直线l上：
7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为关于直线l：
上的对称点为，
则有 10分
由已知
，∴所求的椭圆的方程为 12分
21．解：（Ⅰ）∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x有，
即 2分
（Ⅱ）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立 5分
假设图象上存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直，则由
，知两点处的切线斜率分别为：
此与（*）相矛盾，故假设不成立 9分
（Ⅲ）证明：，
在[－1，1]上是减函数，且
∴在[－1，1]上，时，
14分
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且PA=2AB
2分
4分
单调递增区间为
8分
12分
6分
，BD=
12分
10分
12分
10分
12分
4分
6分
8分
①
②
12分
知M是AB的中点，
，
4分
7分
，不妨设椭圆的一个焦点坐标为
关于直线l：
上的对称点为
，
10分
，∴所求的椭圆的方程为
12分
，
，
2分
4分
时，图象上不存在这样的两点使结论成立 5分
，知两点处的切线斜率分别为：
，
时，
14分