、（满分14分）如图，正方体的棱长为2，E为AB的中点．
(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)求异面直线BD₁与AD所成角的余弦值。

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　　如图，正方体，棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且AE＝BF＝x．

　　（1）当x为何值时，三棱锥的体积最大？

　　（2）求三棱椎的体积最大时，二面角的正切值；

　　（3）（理科做）求异面直线与所成的角的取值范围．

 

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD₁
（Ⅱ）求异面直线BD₁与AD所成角的余弦值．

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，E、F分别为棱DD₁、AB上的点．已知下列命题：
①AC₁⊥平面B₁EF；
②三角形B₁EF在侧面BCC₁B₁上的正投影是面积为定值2的三角形；
③在平面A₁B₁C₁D₁内总存在与平面B₁EF平行的直线；
④平面B₁EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关．
其中，假命题有

①④

①④

（写出所有符合要求命题的序号）

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一、选择题BBCAA   BBAAD  

 11、-6    12、    13、4     14、   15、

16．解：（1）在中，由，得……………………2分

又由正弦定理 ………3分   得：………………4分

（2）由余弦定理：得：……6分

即，解得或（舍去），所以………………8分

所以，……………10分

，即…………………… ……… ……12分

18、（本小题满分14分）

（1）连接BD，由已知有

得………………………………（1分）

又由ABCD是正方形，得：…（2分）

∵与BD相交，∴…………………………（3分）

（2）延长DC至G，使CG=EB，,连结BG、D₁G ，

          ，∴四边形EBGC是平行四边形.

∴BG∥EC.   ∴就是异面直线BD₁与CE所成角…………………………（5分）

在中，    …………………（6分）

异面直线 与CE所成角的余弦值是 ……………………………（8分）

（3）∵    ∴  

又∵     ∴ 点E到的距离  ……………（9分）

有：    ，  ………………（11分）

 又由  ，  设点B到平面的距离为，

则：

有：           …………………………………（13分）

   所以：点B到平面的距离为。……………（14分）

19.解：（1）由题意可知当

……3分

           每件产品的销售价格为……………………………4分

∴2009年的利润

                           ………………… 7分

      （2），……………………………11分

         （万元）13分

        答：（略）…………………………………………………………………… 14分

20、解：（Ⅰ）圆， 半径

QM是P的中垂线，连结AQ，则|AQ|=|QP|

  又，

根据椭圆的定义，点Q轨迹是以C（－，0），A（，0）为焦点，长轴长为2  的

椭圆，………2分

由因此点Q的轨迹方程为………………4分

（Ⅱ）（1）证明：当直线l垂直x轴时，由题意知：

不妨取代入曲线E的方程得：  

即G（，），H（，－）有两个不同的交点，………………5分

当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：

由题意知：

由

∴直线l与椭圆E交于两点，  综上，直线l必与椭圆E交于两点…………8分

（2）由（1）知当直线l垂直x轴时，

………………9分

当直线l不垂直x轴时

设（1）知 

…………………………10分

当且仅当，则取得“=”

……………………12分

当k=0时，   综上，△OGH的面积的最小值为…14分

21．解：（1）在已知式中，当时，

    ∵   ∴…………2分

  当时，   ①      ②

    ①－②得，

    ∵       ∴=    ③

    ∵适合上式…………4分   当时，         ④

     ③－④得：

  ∵ ∴∴数列是等差数列，首项为1，公差为1，可得

（2）假设存在整数，使得对任意 ，都有．

∵     ∴

     ∴

∴ ⑤……………………………………………8分

当（）时，⑤式即为  ⑥

依题意，⑥式对都成立，∴λ<1……………………………………10分

当（）时，⑤式即为  ⑦

依题意，⑦式对都成立， ∴……………12分

∴∴存在整数，使得对任意，都有…14分