已知椭圆的长轴长为，焦点是，点到直线的距离为，过点且倾斜角为锐角的直线与椭圆交于A、B两点，使得.

(1)求椭圆的标准方程；           (2)求直线l的方程．

【解析】（1）中利用点F₁到直线x＝－的距离为可知－＋＝.得到a²＝4而c＝，∴b²＝a²－c²＝1.

得到椭圆的方程。（2）中，利用，设出点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．，借助于向量公式再利用 A、B在椭圆＋y²＝1上， 得到坐标的值，然后求解得到直线方程。

解:(1)∵F₁到直线x＝－的距离为，∴－＋＝.

∴a²＝4而c＝，∴b²＝a²－c²＝1.

∵椭圆的焦点在x轴上，∴所求椭圆的方程为＋y²＝1.……4分

(2)设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．由第(1)问知

,

∴……6分

∵A、B在椭圆＋y²＝1上，

∴……10分

∴l的斜率为＝.

∴l的方程为y＝(x－)，即x－y－＝0.

已知椭圆C：的两个焦点为F₁、F₂，点P在椭圆C上，且|PF₁|=,

|PF₂|= ， PF₁⊥F₁F₂.        

（1）求椭圆C的方程；(6分)

（2）若直线L过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程.

求圆心在直线y＝－2x上，并且经过点A(2,－1)，与直线x＋y＝1相切的圆的方程.

【解析】利用圆心和半径表示圆的方程，首先

设圆心为S，则K_SA＝1,∴SA的方程为：y＋1＝x－2，即y＝x－3，  ………4分

和y＝－2x联立解得x＝1,y＝－2，即圆心(1,－2)  

∴r＝＝,

故所求圆的方程为：＋＝2

解：法一：

设圆心为S，则K_SA＝1,∴SA的方程为：y＋1＝x－2，即y＝x－3，  ………4分

和y＝－2x联立解得x＝1,y＝－2，即圆心(1,－2)             ……………………8分

∴r＝＝,                 ………………………10分

故所求圆的方程为：＋＝2                   ………………………12分

法二：由条件设所求圆的方程为：＋＝ 

 ,          ………………………6分

解得a＝1,b＝－2, ＝2                     ………………………10分

所求圆的方程为：＋＝2             ………………………12分

其它方法相应给分

设，椭圆方程为，抛物线方程为。如图所示，过点

作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G。已知抛物线在点

G的切线经过椭圆的右焦点F1。

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；     (6分)

（2）设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得

△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具

体求出这些点的坐标）。(8分)

设，椭圆方程为，抛物线方程为。如图所示，过点

作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G。已知抛物线在点

G的切线经过椭圆的右焦点F1。

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；     (6分)

（2）设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得

△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具

体求出这些点的坐标）。(8分)