题目列表(包括答案和解析)
在本次数学期中考试试卷中共有10道选择题,每道选择题有4个选项,其中只有一个是正确的。评分标准规定:“每题只选一项,答对得5分,不答或答错得0分”.某考生每道题都给出一个答案, 且已确定有7道题的答案是正确的,而其余题中,有1道题可判断出两个选项是错误的,有一道可以判断出一个选项是错误的,还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生:
(1)选择题得满分(50分)的概率;
(2)选择题所得分数的数学期望。
【解析】第一问总利用独立事件的概率乘法公式得分为50分,10道题必须全做对.在其余的3道题中,有1道题答对的概率为,有1道题答对的概率为,还有1道答对的概率为,
所以得分为50分的概率为:
第二问中,依题意,该考生得分的范围为{35,40,45,50}
得分为35分表示只做对了7道题,其余各题都做错,
所以概率为
得分为40分的概率为:
同理求得,得分为45分的概率为:
得分为50分的概率为:
得到分布列和期望值。
解:(1)得分为50分,10道题必须全做对.在其余的3道题中,有1道题答对的概率为,有1道题答对的概率为,还有1道答对的概率为,
所以得分为50分的概率为: …………5分
(2)依题意,该考生得分的范围为{35,40,45,50} …………6分
得分为35分表示只做对了7道题,其余各题都做错,
所以概率为 …………7分
得分为40分的概率为: …………8分
同理求得,得分为45分的概率为: …………9分
得分为50分的概率为: …………10分
所以得分的分布列为
35 |
40 |
45 |
50 |
|
|
数学期望
已知函数 R).
(Ⅰ)若 ,求曲线 在点 处的的切线方程;
(Ⅱ)若 对任意 恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。
第一问中,利用当时,.
因为切点为(), 则,
所以在点()处的曲线的切线方程为:
第二问中,由题意得,即即可。
Ⅰ)当时,.
,
因为切点为(), 则,
所以在点()处的曲线的切线方程为:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由题意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值缩小范围的均给4分)
,
因为,所以恒成立,
故在上单调递增, ……12分
要使恒成立,则,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)当时,在上恒成立,
故在上单调递增,
即. ……10分
(2)当时,令,对称轴,
则在上单调递增,又
① 当,即时,在上恒成立,
所以在单调递增,
即,不合题意,舍去
②当时,, 不合题意,舍去 14分
综上所述:
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