在正三角形△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足：AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1），将△AEF沿EF折成到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连接A₁B，A₁P（如图2）
（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）求二面角B-A₁P-F的余弦值；
（3）求点F到平面A₁BP的距离．

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF、△CFP分别沿EF、PF折起到△A₁EF和△C₁FP的位置，使二面角A₁-EF-B和C₁-PF-B均成直二面角，连结A₁B、A₁P、EC₁（如图2）
（1）求证：A₁E⊥平面BEP；
（2）设正△ABC的边长为3，以

EB

，

EF

，

EA

为正交基底，建立空间直角坐标系．
①求点C₁的坐标；
②直线EC₁与平面C₁PF所成角的大小；
③求二面角B-A₁P-F的余弦值．

如图，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC且EA=AB=2a，DC=a，F，G，H分别是EB，AB和BC的中点．求证：
（1）FG∥平面AEDC；
（2）平面AEDC∥平面FGH
（3）FD∥平面ABC．

直角三角形ABC的两条直角边BC=1，AC=

3

．A，B两点分别在x轴、y轴的正半轴（含原点）上滑动，P，Q分别为AC，BC的中点．则

OP

•

OQ

的最大值是（　　）