设Q、G分别为的外心和重心，已知，，。

（1）求点的轨迹。

（2）轨迹E与轴两个交点分别为，（位于下方）。动点M、N均在轨迹E上，且满足，试问直线和交点P是否恒在某条定直线上？若是，试求出的方程；若不是，请说明理由。

 

 

 

 

 

 

 

设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a=（mx，y+1），向量b=（x，y-1），a⊥b，动点M（x，y）的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（Ⅱ）已知m=

1

4

．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求该圆的方程；
（Ⅲ）已知m=

1

4

．设直线l与圆C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，且l与轨迹E只有一个公共点B₁．当R为何值时，|A₁B₁|取得最大值？并求最大值．

如图，已知是底面为正方形的长方体，

，，点是上的动点．

（1）试判断不论点在上的任何位置，是否都有平面[来源:学,科,网]

垂直于平面？并证明你的结论；

（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；

（3）求与平面所成角的正切值的最大值．

 

（满分14分）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E．

   （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；

   （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且（O为坐标原点）,并求出该圆的方程；

   （3）已知,设直线与圆C:（1<R<2）相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值．

如图，在长方体，中，，点在棱AB上移动.

（1 ）证明：；

（2）当为的中点时，求点到面的距离；  

（3）等于何值时，二面角的大小为.