A．选修4-1：几何证明选讲
如图，直角△ABC中，∠B=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点．
求证：DE是⊙O的切线．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值-1及其对应的一个特征向量为

1 -4

，点P（2，-1）在矩阵A对应的变换下得到点P′（5，1），求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=

2

，曲线C的参数方程为

x=2cosα y=sinα

（α为参数），求曲线C截直线l所得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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A．选修4-1：几何证明选讲
如图，直角△ABC中，∠B=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点．
求证：DE是⊙O的切线．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值-1及其对应的一个特征向量为，点P（2，-1）在矩阵A对应的变换下得到点P′（5，1），求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为（α为参数），求曲线C截直线l所得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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设函数的所有正的极大值点从小到大排成的数列为{x_n}
（1）求数列{x_n}的通项公式．
（2）设{x_n}的前n项和为S_n，求tanS_n．

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本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
（1）已知矩阵M=，（Ⅰ）求M^-1；（Ⅱ）求矩阵M的特征值和对应的特征向量；（Ⅲ）计算M¹⁰⁰β．
（2）曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是（2，0），求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长．
（3）已知a＞0，求证：．

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题号

答案

1.解析：命题“”的否命题是：“”，

故选C．

2.解析：由已知，得：，故选．

3.解析：若，则，解得．故选．

4.解析：由题意得，

又．故选．

5.解析：设成绩为环的人数是，由平均数的概念，得：．故选．

6.解析：是偶函数；是指数函数；是对数函数．故选．

7.解析：①的三视图均为正方形；②的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为圆；④的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为正方形．故选．

8.解析：程序的运行结果是，选．

9.解析：的图象先向左平移，横坐标变为原来的倍．答案：．

10.解析：特殊值法：令，

有．故选．

题号

11

12

13

14

15

答案

11.解析：．

12.解析：令，则，令，则，

同理得即当时，的值以为周期，

所以．

13.解析：由图象知：当函数的图象过点时，

取得最大值为2．

14. (坐标系与参数方程选做题)解析：将极坐标方程转化成直角坐标方程，圆上的动点到直线的距离的最大值就是圆心到直线的距离再加上半径．故填．

15. (几何证明选讲选做题)解析：连结，

则在和中：，

且，所以，

故．

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．

16.析：主要考察三角形中的边角关系、向量的坐标运算、二次函数的最值．

解：(1)∵，∴，     ………………3分

又∵，∴．    ……………………………………………5分

（2）　　 ……………………………………………6分

，  ………………………8分

∵，∴．　　 ……………10分

∴当时，取得最小值为．   …………12分

17．析：主要考察立体几何中的位置关系、体积．

解：(1)证明：连结，则//，   …………1分

∵是正方形，∴．∵面，∴．

又，∴面．    ………………4分

∵面，∴，

∴．  …………………………………………5分

（2）证明：作的中点F，连结．

∵是的中点，∴，

∴四边形是平行四边形，∴ ． ………7分

∵是的中点，∴，

又，∴．

∴四边形是平行四边形，//，

∵，，

∴平面面．  …………………………………9分

又平面，∴面．  ………………10分

（3）．　……………………………11分

．  ……………………………14分

18．析：主要考察事件的运算、古典概型．

解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件，则，，，，且事件之间是互斥的．

(1)他乘火车或飞机来的概率为………4分

(2)他乘轮船来的概率是，

所以他不乘轮船来的概率为． ………………8分　

（3)由于，

所以他可能是乘飞机来也可能是乘火车或汽车来的． …………………12分　

19.析：主要考察函数的图象与性质，导数的应用．

解：(1)由函数的图象关于原点对称，得，………………1分

∴，∴．　…………2分

∴，∴．　……………………………4分

∴，即．　　……………………6分

∴． ……………………………………………………7分

 (2)由(1)知，∴．

由 ，∴．　　　…………………9分

0

+

0

ㄋ

极小

ㄊ

极大

ㄋ

∴．　 ………………………14分

20．析：主要考察直线．圆的方程，直线与圆的位置关系．

解：(1)（法一）∵点在圆上，    …………………………2分

∴直线的方程为，即．   ……………………………5分

（法二）当直线垂直轴时，不符合题意．     ……………………………2分

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即．

则圆心到直线的距离，即：，解得，……4分

∴直线的方程为．    ……………………………………………5分

（2）设圆：，∵圆过原点，∴．

∴圆的方程为．…………………………7分

∵圆被直线截得的弦长为，∴圆心到直线：的距离：

．   …………………………………………9分

整理得：，解得或． ……………………………10分

∵，∴．   …………………………………………………………13分

∴圆：．  ……………………………………14分

21．析：主要考察等差、等比数列的定义、式，求数列的和的方法．

解：(1)设的公差为，则：，，

∵，，∴，∴．　………………………2分

∴．  …………………………………………4分

（2）当时，，由，得．     …………………5分

当时，，，

∴，即．　 …………………………7分

∴．　　　……………………………………………………………8分

∴是以为首项，为公比的等比数列．　…………………………………9分

（3）由（2）可知：． 　 ……………………………10分

∴．　…………………………………11分

∴

∴．

∴

．    ………………………………………13分

∴．　　…………………………………………………14分