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A．选修4-1：几何证明选讲
如图，直角△ABC中，∠B=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点．
求证：DE是⊙O的切线．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值-1及其对应的一个特征向量为

1 -4

，点P（2，-1）在矩阵A对应的变换下得到点P′（5，1），求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=

2

，曲线C的参数方程为

x=2cosα y=sinα

（α为参数），求曲线C截直线l所得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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A．选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC
交于点D．求证：ED²=EB•EC．
B．选修4-2：矩阵与变换
求矩阵M=

-1 4 2 6

的特征值和特征向量．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+

π

4

)=

3 2

2

和ρsin²θ=4cosθ，直线l与曲线C交于点．A，B，C，求线段AB的长．
D．选修4-5：不等式选讲
对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

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A．（不等式选讲选做题）如果存在实数x使不等式|x+1|-|x-2|＜k成立，则实数k的取值范围是

 

．
B．（几何证明选讲选做题）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=2

7

，AB=BC=3，则AC的长为

 

．
C．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线
ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为

 

．

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1．A  2．C  3．C  4．A   5．C   6．B  7．D 8．C   9．D   10．D   11．B  12．D

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13．     14．±2     15．     16．40

三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．解：

，联合

得，即

当时，

当时，

∴当时，

当时，

18．解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁.

   （1）连结AC₁，AB₁.

由直三棱柱的性质得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，

所以AA₁⊥A₁B₁，则四边形ABB₁A₁为矩形.

由矩形性质得AB₁过A₁B的中点M.

在△AB₁C₁中，由中位线性质得MN//AC₁，

又AC₁平面ACC₁A₁，MN平面ACC₁A₁，

所以MN//平面ACC₁A₁

   （2）因为BC⊥平面ACC₁A₁，AC平面ACC₁A₁，

所以BC⊥AC₁.

在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁.

又因为BC∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC.

由MN//AC₁，得MN⊥平面A₁BC.

   （3）由题意CB，CA，CC₁两两垂直，故可以C为的点，

CB，CA，CC₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

又AC = BC = CC₁ = a，

则

则AB中点E的坐标为， 

为平面AA₁B的法向量.

又AC₁⊥平面A₁BC，故为平面A₁BC的法向量

设二面角A―A₁B―C的大小为θ，

则

由题意可知，θ为锐角，所以θ= 60°，即二面角A―A₁B―C为60°

19．解：（1）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的.

所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是

.

   （2）由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布B(5,0.5).从而的数学期望是

E＝，即平均有2.50家煤矿必须整改.

   （3）某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是

20．（1）依题意，点的坐标为，可设，

直线的方程为，与联立得

消去得．

由韦达定理得，．

于是．

，

      当，．

   （2）假设满足条件的直线存在，其方程为，

设的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，

则，点的坐标为．

，

，

，

．

令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．

21．解：（1）当时，，

∵，∴在上是减函数.

   （2）∵不等式恒成立，即不等式恒成立，

∴不等式恒成立. 当时，  不恒成立；

当时，不等式恒成立，即，∴.

当时，不等式不恒成立. 综上，的取值范围是.

22．解：（1）∵ 的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列

∴ .

∵ 位于函数的图象上,

∴ ,

∴ 点的坐标为.

   （2）据题意可设抛物线的方程为：,

即．

∵ 抛物线过点（0，）,

∴ ,

∴   ∴ ．

∵ 过点且与抛物线只有一个交点的直线即为以为切点的切线，

∴ ．

∴ （），

∴

∴ ．

   （3）∵    ，

∴ 中的元素即为两个等差数列与中的公共项，它们组成以为首项，以为公差的等差数列．

∵ ，且成等差数列，是中的最大数，

∴ ，其公差为．

当时，，

此时    ∴ 不满足题意，舍去．

当时，，

此时，

∴ ．

当时，．

此时， 不满足题意，舍去．

综上所述，所求通项为．