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    (1)当时.求证:在上是减函数, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    (12分)已知，．

    （Ⅰ）当时，求证：在上是减函数；

    （Ⅱ）如果对不等式恒成立，求实数的取值范围．

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    已知函数．

    （1）当时，求证：在上是减函数；

    （2）如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

     

     

     

     

     

     

     

     

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    解答题

    已知，．

    (1)

    当时，求证：在上是减函数；

    (2)

    如果对不等式恒成立，求实数的取值范围．

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    已知函数f（x）=x4+ax3+bx2+c，其图象在y轴上的截距为-5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x=0，x=2时取得极小值．
    （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
    （Ⅱ）能否找到垂直于x轴的直线，使函数f（x）的图象关于此直线对称，并证明你的结论；
    *（Ⅲ）设使关于x的方程f（x）=λ2x2-5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A，且两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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    已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R，m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．
    （1）求n，m的关系式并求f（x）的单调减区间；
    （2）证明：对任意实数0＜x1＜x2＜1，关于x的方程：f′(x)-
    f(x2)-f(x1)
    x2-x1
    =0    在（x1，x2）恒有实数解
    （3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f（x）是在闭区间[a，b]上连续不断的函数，且在区间（a，b）内导数都存在，则在（a，b）内至少存在一点x0，使得f′(x0)=
    f(b)-f(a)
    b-a
    ．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
    当0＜a＜b时，
    b-a
    b
    ＜ln
    b
    a
    ＜
    b-a
    a
    （可不用证明函数的连续性和可导性）．

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    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

    1．A  2．C  3．C  4．A   5．C   6．B  7．D 8．C   9．D   10．D   11．B  12．D

    二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

    13．     14．±2     15．     16．40

    三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

    17．解：

    ，联合

    得，即

    当时，

    当时，

    ∴当时，

    当时，

    18．解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC1.

       （1）连结AC1，AB1.

    由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1，

    所以AA1⊥A1B1，则四边形ABB1A1为矩形.

    由矩形性质得AB1过A1B的中点M.

    在△AB1C1中，由中位线性质得MN//AC1，

    又AC1平面ACC1A1，MN平面ACC1A1，

    所以MN//平面ACC1A1

       （2）因为BC⊥平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，

    所以BC⊥AC1.

    在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1.

    又因为BC∩A1C=C，所以AC1⊥平面A1BC.

    由MN//AC1，得MN⊥平面A1BC.

       （3）由题意CB，CA，CC1两两垂直，故可以C为的点，

    CB，CA，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

    又AC = BC = CC1 = a，

    则

    则AB中点E的坐标为， 

    为平面AA1B的法向量.

    又AC1⊥平面A1BC，故为平面A1BC的法向量

    设二面角A―A1B―C的大小为θ，

    则

    由题意可知，θ为锐角，所以θ= 60°，即二面角A―A1B―C为60°

    19．解：（1）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的.

    所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是

    .

       （2）由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布B(5,0.5).从而的数学期望是

    E＝，即平均有2.50家煤矿必须整改.

       （3）某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是

    20．（1）依题意，点的坐标为，可设，

    直线的方程为，与联立得

    消去得．

    由韦达定理得，．

    于是．

    ，

    *      当，．

       （2）假设满足条件的直线存在，其方程为，

    设的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，

    则，点的坐标为．

    ，

    ，

    ，

    ．

    令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．

    21．解：（1）当时，，

    ∵，∴在上是减函数.

       （2）∵不等式恒成立，即不等式恒成立，

    ∴不等式恒成立. 当时，  不恒成立；

    当时，不等式恒成立，即，∴.

    当时，不等式不恒成立. 综上，的取值范围是.

    22．解：（1）∵ 的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列

    ∴ .

    ∵ 位于函数的图象上,

    ∴ ,

    ∴ 点的坐标为.

       （2）据题意可设抛物线的方程为：,

    即．

    ∵ 抛物线过点（0，）,

    ∴ ,

    ∴   ∴ ．

    ∵ 过点且与抛物线只有一个交点的直线即为以为切点的切线，

    ∴ ．

    ∴ （），

    ∴

    ∴ ．

       （3）∵    ，

    ∴ 中的元素即为两个等差数列与中的公共项，它们组成以为首项，以为公差的等差数列．

    ∵ ，且成等差数列，是中的最大数，

    ∴ ，其公差为．

    *当时，，

    此时    ∴ 不满足题意，舍去．

    *当时，，

    此时，

    ∴ ．

    当时，．

    此时， 不满足题意，舍去．

    综上所述，所求通项为．

     

     

     


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