质检部门将对12个厂家生产的婴幼儿奶粉进行质量抽检，若被抽检厂家的奶粉经检验合格，则该厂家的奶粉即可投放市场；若检验不合格，则该厂家的奶粉将不能投放市场且作废品处理．假定这12个厂家中只有2个厂家的奶粉存在质量问题（即检验不能合格），但不知道是哪两个厂家的奶粉．
（I）从中任意选取3个厂家的奶粉进行检验，求至少有2个厂家的奶粉检验合格的概率；
（Ⅱ）每次从中任意抽取一个厂家的奶粉进行检验（抽检不重复），记首次抽检到合格奶粉时已经检验出奶粉存在质量问题的厂家个数为随即变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．

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第I卷（选择题  共60分）

一、选择题：（每小题5分，共60分）

（1）B；  （2）A；  （3）B； （4）A；  （5）C；  （6）C；  （7）B；  （8）A； 

（9）D； （10）B； （11）D； （12）B

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：（每小题4分，共16分）

（13）16；（14）   （15）   （16）③④

三、解答题：（本大题共6小题，共74分）

（17）解：（I）由题意，得

（Ⅱ）由（I）可知，

又

又

（18）（I）证明：在中，

      由余弦定理，可得

      又在直平行六面体中，，

      又

（Ⅱ）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

则有。

设平面的法向量为

由   取

而平面的一个法向量为，

故平面与平面所成锐二面角的大小为

（Ⅲ）解：点到平面的距离即为在平面法向量上的射影的模长。

故所求点到平面的距离为

（19）解：（I）任意选取3个厂家进行抽检，至少有2个厂家的奶粉检验合格有两种情形；一是选取抽检的3个厂家中，恰有2个厂家的奶粉合格，此时的概率为

二是选取抽检的3个厂家的奶粉均合格，此时的概率为

故所求的概率为

（Ⅱ）由题意，随即变量的取值为0，1，2。

的分布列为

0

1

2

的数学期望

（20）解：（I）当时，函数   为上的连续函数，

令

当时，函数在上单调递减，在（0，2）上单调递增。

又

当时，恒成立，

当时，函数在上单调递减。

综上可知，函数的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（。

（Ⅱ）对任意恒成立

此时即。

当时，函数在上单调递减，在上单调递增。而

当时，函数的最大值为。

结合（I）中函数的单调性可知：当时，

即实数的取值范围为

（21）解：（I）设，则而，

。

由，即为中点的轨迹方程

（Ⅱ）点在椭圆内部，直线与椭圆必有公共点

设点，由已知，则有

两式相减，得

而直线的斜率为

直线的方程为

（Ⅲ）假定存在定点，使恒为定值

由于轨迹方程中的，故直线不可能为轴

于是可设直线的方程为且设点P

将代入得

。

显然

，

则

若存在定点使为定值（与值无关），则必有

在轴上存在定点，使恒为定值

（22）解：（I）

由

叠加，得

故所求的通项公式为

（Ⅱ）①

②恒成立

下面证明

（i）当时，不等式成立；

当时，左边右边

左边>右边，不等式成立。

（ii）假设当时，

成立。

则当时，

又

当时，不等式也成立。

综上（i）、(ii)可知，（ 成立。

对一切正整数，不等式恒成立

恒成立

故只需

而的最小值为2。