某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为．
（Ⅰ）求选手甲可进入决赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

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某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为．
（Ⅰ）求选手甲可进入决赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

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一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

D

C

C

B

C

B

B

D

二、填空题

11．100    12．4       13．（-2，2）      14．

15．     16．    17．

18．（本小题14分）

解答：（1）设甲选手答对一个问题的正确率为，则

故甲选手答对一个问题的正确率            3分

（Ⅱ）选手甲答了3道题目进入决赛的概率为=     4分

选手甲答了4道题目进入决赛的概率为      5分

选手甲答了5道题目进入决赛的概率为     6分

选手甲可以进入决赛的概率         8分

（Ⅲ）可取3，4，5

则有             9分

       10分

      11分

因此有     （直接列表也给分）

3

4

5

故          14分

19．解：由三视图知，该多面体是低面为直角三角形的直三棱柱

（1）证明：连续取，易见通过点，连接。

    4分

（2）作于，连接

面

故为所求二面角的平面角。        6分

在中

故所求二面角的余弦值为                 9分

（3）棱锥的体积   14分

20  解：（1）解方程得或         1分

当时，或，此时         2分

当时，   3分

依次类推：

            5分

（2）

                    9分

（3）由得

                  11分

   设

   易证在上单调递减，在（）上单调递增。    13分

                   15分

21．解：（1）设由得

直线的方程为：

直线的方程为：

解方程组得      3分

由已知，三点共线，设直线的方程为：

与抛物线方程联立消可得：

         5分

所以点的纵坐标为-2，所以线段中点的纵坐标O

即线段被轴平分。                 6分

（2）

          =0            9分

                               13分

  而   所以在直角中，

  由影射定理即得             15分

22．解：（1）代入得

       设        1分

                           3分

          令解得

     在上单调递减，在上单调递增。        5分

        即原式的最小值为-1         7分

（2）要证即证

    即证

    即证                   9分

    由已知     设     10分

                        11分

                     13分

    所以在上单调递减，

    原不等式得证。                                   14分