题目列表(包括答案和解析)
已知等比数列中,,且,公比,(1)求;(2)设,求数列的前项和
【解析】第一问,因为由题设可知
又 故
或,又由题设 从而
第二问中,
当时,,时
故时,
时,
分别讨论得到结论。
由题设可知
又 故
或,又由题设
从而……………………4分
(2)
当时,,时……………………6分
故时,……8分
时,
……………………10分
综上可得
在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+ S2=12,.(Ⅰ)求an 与bn;(Ⅱ)设数列{cn}满足,求{cn}的前n项和Tn.
【解析】本试题主要是考查了等比数列的通项公式和求和的运用。第一问中,利用等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+ S2=12,,可得,解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通项公式故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1. 第二问中,,由第一问中知道,然后利用裂项求和得到Tn.
解: (Ⅰ) 设:{an}的公差为d,
因为解得q=3或q=-4(舍),d=3.
故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1. ………6分
(Ⅱ)因为……………8分
已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=,a≠0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的实数x只有一个.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若数列{an}满足a1=,an+1=f(an),bn=-1,n∈N*,证明数列{bn}是等比数列,并求出{bn}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,证明:a1b1+a2b2+…+anbn<1(n∈N*).
【解析】解: (1)由f(x)=,f(1)=1,得a=2b+1.
由f(x)=2x只有一解,即=2x,
也就是2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解,
∴b=-1.∴a=-1.故f(x)=.…………………………………………4分
(2)an+1=f(an)=(n∈N*),bn=-1, ∴===,
∴{bn}为等比数列,q=.又∵a1=,∴b1=-1=,
bn=b1qn-1=n-1=n(n∈N*).……………………………9分
(3)证明:∵anbn=an=1-an=1-=,
∴a1b1+a2b2+…+anbn=++…+<++…+
==1-<1(n∈N*).
已知是等差数列,其前n项和为Sn,是等比数列,且,.
(Ⅰ)求数列与的通项公式;
(Ⅱ)记,,证明().
【解析】(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q.
由,得,,.
由条件,得方程组,解得
所以,,.
(2)证明:(方法一)
由(1)得
①
②
由②-①得
而
故,
(方法二:数学归纳法)
① 当n=1时,,,故等式成立.
② 假设当n=k时等式成立,即,则当n=k+1时,有:
即,因此n=k+1时等式也成立
由①和②,可知对任意,成立.
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com