设直线l：y=k（x+1）与椭圆x²+3y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：a2＞

3k2

1+3k2

；
（Ⅱ）若

AC

=2

CB

，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程．

设直线l₁：y=2x与直线l₂：x+y=3交于P点．
（1）当直线l过P点，且与直线l₀：2x+y=0平行时，求直线l的方程．
（2）当直线l过P点，且原点O到直线l的距离为1时，求直线l的方程．

设直线l：y=x+m，双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，双曲线的离心率为

3

，l与E交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且

OP

•

OQ

=-3，

PR

=3

RQ

.
（1）证明：4a²=m²+3；
（2）求双曲线E的方程；
（3）若点F是双曲线E的右焦点，M，N是双曲线上两点，且

MF

=λ

FN

，求实数λ的取值范围．

设直线l（斜率存在）交抛物线y²=2px（p＞0，且p是常数）于两个不同点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O为坐标原点，且满足

OA

•

OB

=x₁x₂+2（y₁+y₂）．
（1）若y₁+y₂=-1，求直线l的斜率与p之间的关系；
（2）求证：直线l过定点；
（3）设（1）中的定点为P，若点M在射线PA上，满足

1

| PM |

=

1

| PA |

+

1

| PB |

，求点M的轨迹方程．