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2008年5月12日，四川汶川发生8.0级特大地震，通往灾区的道路全部中断. 5月12日晚，抗震救灾指挥部决定从水路（一支队伍）、陆路（东南和西北两个方向各一支队伍）和空中（一支队伍）同时向灾区挺进．在5月13日，仍时有较强余震发生，天气状况也不利于空中航行. 已知当天从水路抵达灾区的概率是，从陆路每个方向抵达灾区的概率都是，从空中抵达灾区的概率是．
（1）求在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率；
（2）求在5月13日抵达灾区的队伍数的数学期望.

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一、选择题  1--5 ADACB   6--10  ABACD  11―12 CB

二、填空题  13．8    14．7   15．12   16．AB

_{三、解答题}

17.解：（Ⅰ） ，

，

．…………………………（4分）  

　，  ．………………………（6分）

（Ⅱ）由余弦定理，得　．………（8分）

，  ．

所以的最小值为，当且仅当时取等号．………………（12分）

18.（Ⅰ）解法一：依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C，且B、C相互独立，而且．……………………………（2分）

在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是

.……………………（6分）

解法二：在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是

.…………（6分）

（Ⅱ）依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C，且B、C相互独立，而且.

设5月13日抵达灾区的队伍数为，则=0、1、2、3、4. ……………………（7分）

由已知有：；

；

；

；

.

答：在5月13日抵达灾区的队伍数为2时概率最大……………………（12分）

19. （I）由已知a₂－a₁=－2, a₃－a₂=－1, －1－(－2)=1

∴a_n+1－a_n=(a₂－a₁)+(n－1)?1=n－3 

n≥2时，a_n=( a_n－a_n－1)+( a_n－1－a_n－2)+…+( a₃－a₂)+( a₂－a₁)+ a₁

          =(n－4)+(n－5) +…+(－1)+(－2)+6 =

n=1也合适.  ∴a_n=  (n∈N*) ……………………3分

又b₁－2=4、b₂－2=2 .而  ∴b_n－2=（b₁－2）?()^n－1即b_n=2+8?()ⁿ……(6分)

∴数列{a_n}、{b_n}的通项公式为：a_n= ，b_n=2+()^n－3

（II）设

当k≥4时为k的增函数，－8?()^k也为k的增函数，而f(4)=

∴当k≥4时a^k－b^k≥………………10分

又f(1)=f(2)=f(3)=0   ∴不存在k， 使f(k)∈（0，）…………12分

20解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，且AB=AC，所以AMBC，

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面,  AM 又.所以AM平面.

（或：连结，  又,.）…………(5分)

（II）因为AM平面

且M平面，NM平面

∴AMM, AMNM，

∴MN为二面角―AM―N的平面角. …………（7分）

∴，设C₁N=，则CN=1－

又M=,MN=, 

连N，得N＝，

在MN中，由余弦定理得 

,  …（10分）

得=.故=2. …    （12分）

解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，，0）,

C（0,1,0）, A （），设N （0,1,a） ,所以，

，,

因为所以,同法可得.又故AM面BC.

   （II）由（Ⅰ）知??为二面角―AM―N的平面角,以下同法一.

21解（Ⅰ）由已知  

∴    ∴………………（2分）

又且    ∴ （舍去）

∴…（4分）

（Ⅱ）令    即的增区间为、

∵在区间上是增函数

∴或     则或……（8分）

（Ⅲ）令或

∵    

 ∴在上的最大值为4，最小值为0………………（10分）

∴、时，……………（12分）

22.解  （1）设为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，可设直线的方程为.并将它代入得：，即.设，则，……（3分）

∵被轴平分，∴.即.

即，∴.……………（5分）

于是.

∵，即.………………（7分）

（2）对于椭圆.于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与轴的交点. ………………（9分）

证明：设椭圆的左准线与轴相交于M点，过A，B分别作的垂线，垂足分别为C，D.

据椭圆第二定义：∵

于是即.∴，又均为锐角，∴，∴.

∴的平分线.故M为椭圆的“左特征点”. ………（14分）