(Ⅱ)证明:由..可得．【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

可以证明，对任意的n∈N^*，有（1+2+…+n）²=1³+2³+…+n³成立．下面尝试推广该命题：
（1）设由三项组成的数列a₁，a₂，a₃每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，求所有满足条件的数列；
（2）设数列{a_n}每项均非零，且对任意的n∈N^*有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，数列{a_n}的前n项和为S_n．求证：a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{a_n}，使得a₂₀₁₁=2009？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）；若不存在，说明理由．

可以证明，对任意的n∈N^，有（1+2+…+n）²=1³+2³+…+n³成立．下面尝试推广该命题：
（1）设由三项组成的数列a₁，a₂，a₃每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，求所有满足条件的数列；
（2）设数列{a_n}每项均非零，且对任意的n∈N^有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，数列{a_n}的前n项和为S_n．求证：a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{a_n}，使得a₂₀₁₁=2009？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）；若不存在，说明理由．

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可以证明，对任意的n∈N^*，有（1+2+…+n）²=1³+2³+…+n³成立．下面尝试推广该命题：
（1）设由三项组成的数列a₁，a₂，a₃每项均非零，且对任意的n∈{1，2，3}有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，求所有满足条件的数列；
（2）设数列{a_n}每项均非零，且对任意的n∈N^*有（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³成立，数列{a_n}的前n项和为S_n．求证：a_n+1²-a_n+1=2S_n，n∈N^*；
（3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列{a_n}，使得a₂₀₁₂=-2011？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）；若不存在，说明理由．

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在解决问题：“证明数集A={x|2＜x≤3}没有最小数”时，可用反证法证明．假设a（2＜a≤3）是A中的最小数，则取a′=

a+2

，可得：2=

2+2

＜a′=

a+2

＜

a+a

=a≤3，与假设中“a是A中的最小数”矛盾！那么对于问题：“证明数集B={x|x=

，m，n∈N*，并且n＜m}没有最大数”，也可以用反证法证明．我们可以假设x=

是B中的最大数，则可以找到x'=______（用m₀，n₀表示），由此可知x'∈B，x'＞x，这与假设矛盾！所以数集B没有最大数．