已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都相等，P为A₁B上的点，，且PC⊥AB．
（1）求λ的值；
（2）求异面直线PC与AC₁所成角的余弦值．

20090327

（2）要使函数为偶函数，只需

即…………………………………………….8分

因为，

所以.…………………………………………………………10分

18．（1）由题意知随机变量ξ的取值为2，3，4，5，6.

,,…………….2分

 , ，

.…………………………. …………4分

所以随机变量ξ的分布列为

2

3

4

5

6

P

…………………………………………6分

（2）随机变量ξ的期望为

…………………………12分

19．解：（1）过点作于,由正三棱柱性质知平面,

连接,则为在平面上的射影.

，，…………………………2分

为中点，又,

所以为的中点.

过作于,

连结,则,

为二面角

的平面角.…4分

在中，

由=，，

得.

所以二面角的正切值为..…6分

（2）是中点，

到平面距离等于到平面距离的2倍，

又由（I）知平面，

平面平面，

过作于，则平面,

.

故所求点到平面距离为.…………………………12分

20．解：（1）函数的定义域为，因为

，

所以 当时，；当时，.

故的单调递增区间是；的单调递减区间是.………6分

（注： -1处写成“闭的”亦可）

（2）由得：，

令，则，

所以时，，时，，

故在上递减，在上递增，…………………………10分

要使方程在区间上只有一个实数根，则必须且只需

解之得

所以实数的取值范围．……………………12分

21．解：（1）设，

因为抛物线的焦点，

则.……………………………1分

，…2分

，

而点A在抛物线上，

.……………………………………4分

又………………………………6分

（2）由，得，显然直线，的斜率都存在且都不为0.

设的方程为，则的方程为.

    由 得，同理可得.………8分

  则

=.（当且仅当时取等号）

所以的最小值是8.…………………………………………………………12分

22．解：（1），由数列的递推公式得

，，.……………………………………………………3分

（2）

=

==.……………………5分

数列为公差是的等差数列.

由题意，令，得.……………………7分

（3）由（2）知，

所以.……………………8分

此时=

=，……………………10分

 =

>.……………………12分