长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA₁=1,则顶点A、B间的球面距离是

A.2                            B.                       C.                D.       

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一、选择题:1-5 :A D B D C  6-10: C C C D B  11-12: B B学科网

二、填空题: 13,  14.  3  15.  16. （1，2），（3，402）学科网

三、解答题

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（12分）

解：（1）∥             2分

          4分 

又为锐角                 6分

（Ⅱ）   由    得 

又代入上式得：（当且仅当时等号成立。） 9分

（当且仅当时等号成立。）     11分

的面积的取值范围为.                               12分

18．（12分）

解法一：

（Ⅰ）取中点，连结．

，．

，．

，平面．

平面，．

（Ⅱ），，

．

又，．

又，即，且，

平面．

取中点．连结．

，．

是在平面内的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．二面角的余弦值为

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面．

过作，垂足为．

平面平面，

平面．

的长即为点到平面的距离．

由（Ⅰ）知，又，且，

平面．平面，

．

在中，，，．．

点到平面的距离为．

解法二：

（Ⅰ），，．

又，．

，平面．

平面，．

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则．设．

，，．

取中点，连结．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．二面角的余弦值为．

（Ⅲ），

在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．

如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．

，点的坐标为．

．点到平面的距离为．

19.（12分）

解：（Ⅰ）由条件得，又时，，

　　　故数列构成首项为1，公式为的等比数列．从而，即．

（Ⅱ）由得，

，

两式相减得 ： ， 所以 ．

（Ⅲ）由得

　　　所以．

20.（12分）

解：（Ⅰ）①当0＜t10时，V(t)=(－t²+14t－40)

化简得t²－14t+40>0,

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.

②当10＜t12时，V（t）＝4（t－10）（3t－41）+50＜50,

化简得（t－10）（3t－41）＜0,

解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.

综合得0<t<4,或10<t12,

故知枯水期为1月，2月， 3月，4月，11月，12月共6个月.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.

由V′（t）=

令V′(t)=0,解得t=8(t=－2舍去).

当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表：

t

(4,8)

8

(8,10)

V′(t)

+

0

－

V(t)

极大值

由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e²+50－108.32(亿立方米).

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

21.（12分）

解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．

因为四边形为菱形，所以．

于是可设直线的方程为．

由得．

因为在椭圆上，

所以，解得．

设两点坐标分别为，

则，，，．

所以．

所以的中点坐标为．

由四边形为菱形可知，点在直线上，

所以，解得．

所以直线的方程为，即．

（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，

所以．

所以菱形的面积．

由（Ⅰ）可得，

所以．

所以当时，菱形的面积取得最大值．

22.（10分）解：从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于CD，连结BE交CD于F。求证：BE平分CD.

【分析1】构造两个全等△.

连结ED、AC、AF。

CF=DF←△ACF≌△EDF←

←

←∠PAB=∠AEB=∠PFB

【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF、OP、OB.

←∠PFB=∠POB←

←

23.（10分）解：（Ⅰ）是圆，是直线．

的普通方程为，圆心，半径．

的普通方程为．

因为圆心到直线的距离为，所以与只有一个公共点．

（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为

：（为参数）； ：（t为参数）．

化为普通方程为：：，：，

联立消元得，其判别式，

所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．

24.（10分）解：

（Ⅰ）

图像如下：

（Ⅱ）不等式