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已知一个正方体的八个顶点都在同一个球面上．设此正方体的表面积为S₁，球的表面积S₂，则=   

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已知一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，若此正方体的棱长为，那么这个球的表面积为_______.

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                   高三数学试卷（文科）                 2009.4   

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

A

B

A

D

C

A

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.

二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.

9. 36         10. 10        11. 2, 8      12.      13.        14. 5, 2     

注：两空的题目，第一个空3分，第二个空2分.

三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.

15.（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：由余弦定理，                       ----------------------------3分

得.                                 ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 ,

所以角为锐角，所以，          ----------------------------7分

则     --------------------------10分

   .

        所以.                             ---------------------------12分

16.（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：记 “2次汇报活动都是由小组成员甲发言” 为事件A.   -----------------------------1分     

由题意，得事件A的概率，              

即2次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为.            ---------------------------5分

（Ⅱ）解：由题意，每次汇报时，男生被选为代表的概率为，女生被选为代表的概率为.

                                                               ----------------------------6分

      记“男生发言次数不少于女生发言次数”为事件B，

由题意，事件B包括以下两个互斥事件：

1事件B₁：男生发言2次女生发言0次，其概率为

，             ----------------------------8分

2事件B₂：男生发言1次女生发言1次，其概率为

，           ----------------------------10分

所以，男生发言次数不少于女生发言次数的概率为.

   ---------------------------12分

17.（本小题满分14分）

方法一：（Ⅰ）证明：在中，，

       ，

       ，即，                             ---------------------------1分

       ，

       平面.                                      ---------------------------4分

（Ⅱ）如图，连接AC，由（Ⅰ）知平面，

     AC为PA在平面ABCD内的射影，

     为PA与平面ABCD所成的角.    --------------6分

     在中，，，

     ，

    在中，，，

    ，

    PA与平面ABCD所成角的大小为.                ---------------------------8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

又，

平面.                                       ---------------------------9分

如图，过C作于M，连接BM，

是BM在平面PCD内的射影，

，

为二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------11分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

，

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小为.                       --------------------------14分

  方法二：（Ⅰ）同方法一.                                        ---------------------------4分

   （Ⅱ）解：连接AC，由（Ⅰ）知平面，

     AC为PA在平面ABCD内的射影，

       为PA与平面ABCD所成的角.                     ---------------------------6分

       如图，在平面ABCD内，以C为原点， CD、CB、CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，

         则, ，                    

                                                                 ---------------------------7分

       ，

       PA与平面ABCD所成角的大小为.               ---------------------------9分

 （Ⅲ）过C作于M，连接BM，设，

       则，

，

；           1       

共线，

，               2

由12，解得，

点的坐标为，，，

,

，

又，

为二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------12分

         ，，

         ， 

 二面角B-PD-C的大小为.                        --------------------------14分

18.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：因为，

      所以当时，，解得，           ---------------------------2分

          当时，，即，解得，

      所以，解得；                                 ---------------------------5分

则，数列的公差，

所以.                            ---------------------------8分

（Ⅱ）因为

                     ---------------------------9分

        ---------------------------12分

.                       

因为，

所以 .                          -------------------------14分

        注：为降低难度，此题故意给出多余条件，有多种解法，请相应评分.

19.（本小题满分14分）

   （Ⅰ）解：设A(x₁, y₁)，

因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，

所以，解得，                              -------------------------1分

又因为点A(x₁, y₁)在椭圆C上，

所以，即，解得，

 则点A的坐标为或，                      -------------------------3分

所以直线l的方程为，或.    -------------------------5分

   （Ⅱ）设A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)，则

所以，

         则，                   -------------------------7分

         当直线AB的斜率不存在时，其方程为，，此时；

-------------------------8分

当直线AB的斜率存在时，设其方程为，

   由题设可得A、B的坐标是方程组的解，

   消去y得，

   所以，       -------------------------10分

   则，

   所以，

   当时，等号成立, 即此时取得最大值1.    -------------------------13分

综上，当直线AB的方程为或时，有最大值1.  -------------------14分

20.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：当时，，

因为，

所以，函数的图象不能总在直线的下方.          ---------------------------3分

（Ⅱ）解：由题意，得，

令，解得或，                     --------------------------4分

当时，由，解得，

所以在上是增函数，与题意不符，舍去；

当时，由，与题意不符，舍去；     --------------------------6分

当时，由，解得，

所以在上是增函数，

又在(0，2)上是增函数，

              所以，解得，

综上，a的取值范围为.                            ---------------------------9分

（Ⅲ）解：因为方程最多只有3个根，

      由题意，得在区间内仅有一根，

      所以，           1

同理，           2       --------------------------11分

当时，由1得 ，即，

    由2得，即，

    因为，所以，即；

当时，由1得 ，即，

    由2得，即，

    因为，所以，即；

当时，因为，所以有一根0，这与题意不符.

综上，.                                          ---------------------------14分

注：在第（Ⅲ）问中，得到12后，可以在坐标平面aOb内，用线性规划方法解. 请相应评分.