如图，椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，A、B是顶点，F是左焦点；当BF⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，其离心率为

5 -1

2

．类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e=

 

．

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如图，F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点.已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|.

(1)写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；

(2)当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程.

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如图，椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，A、B是顶点，F是左焦点；当BF⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，其离心率为．类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e=    ．

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一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

C

A

C

B

A

D

D

A/B

B

D

二、             填空题：

13．  8             

14．（理）（文）

15.  

16． 或      或

三、解答题： 答案仅供参考，其他解法参照给分

17．(本小题满分12分)

（理） 解：

(文) 解：（1）由两角和差公式及二倍角公式得

由得

于是函数的单调递增区间为-------------6分

（2）由（1）知

     再由得------------------------8分

--------------------10分

     所以函数的值域为-------------------------12分

18．（本小题满分12分）

（理） 解：（1）该考生得50分的情况有三类;①在“两道只能分别判断２个选项是错误的”时，该两题竟然全选对后面两道题全选错，其概率为；②在“两道只能分别判断２个选项是错误的”时，该两题竟然全选错后面两道题全选对，其概率为；③在“两道只能分别判断２个选项是错误的”时，该两题只能选对一道后面两道题也只能一错一对，其概率为，从而有

    …………………………………4分

（2）用表示所得分数，则可能的取值为40，45，50，55，60

∵ 

    ……………8分

∴的概率分布列为 

40

45

50

55

60

P

…12分

（文） 解: (I)记“取到的4个球全是红球”为事件A，则

 　　　　　　……………………… 4分

(II)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件

由题意得

                   ………………………6分

 ………………………8分

               ………………………10分

所以，

化简，得

解得  n=2，或故n=2.  　　　　　 ………………………12分

19．（本小题满分12分）

  证明: （I）连结PA．

∵　PD⊥平面ABCD，　CD⊥AD，

∴　PA⊥CD（三垂线定理）．………………2分

∵　M、N分别是PB、AB的中点，

∴　MN∥PA，

∴　MN⊥CD．………………………6分

（理）（II） 过点O作DN的垂线OE，垂足为E，连结ME．

∵　MO⊥平面ABCD，∴　ME⊥DN．

∴　∠MEO就是二面角M－DN－C的平面角．   ………………………9分

∵　△MOE中，∠MOE＝90°，MO＝3，OE＝，

∴　．

故二面角M－DN－C的大小为．………………………12分

（文）（II）设AC、BD交于点O．

∵　MO∥PD，

∴　MO⊥底面ABCD，且MO＝PD＝3．

                               ………………………9分

∵　N是AB的中点，

∴　 ，　　∴　 ，

∴　 ………………………12分

20．（本小题满分12分）

（理） 解：（1）令，

则，---------------------------------------2分

      由得，

      由得，---------------------------------4分

由的定义域知，

      的单调递增区间为；递减区间为--------------------6分

     （2） 令,则函数与的图象有且只有两个不同的交点与x轴正半轴有且只有两个不同的交点.对求导数,得----------8分

 .

   又∵x→0时，＜0,x→+∞时，＞0------------------------------------------10分

有两个不同正根的充要条件是或

,解得m=7或m=.---------------------------12分

也可由（1）知，函数在处取得极值，若要恰有两不同的根，则必有或，所以有m=7或m=

（文）解：（Ⅰ），  ---------------2分

-----------------------------------4分

 又

故所求。----------------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

 由得，，

由得， ，

故函数的单调递增区间为单调递减区间为------8分

 恒成立，

故函数在单调递增区间为---------------10分

 由得，，

由得， ，

故函数的单调递增区间为单调递减区间为----12分

21．（本小题满分12分）

（理）解：(1)由已知设椭圆方程为，

则 ---------------2分

a=2,   c=,      b=1.---------------------------------4分

   ∴椭圆的标准方程为----------------------------------------------6分

(2)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S_△ABC=1.

当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,

解得B(,),C(－,－),------------8分

则,又点A到直线BC的距离d=,

∴△ABC的面积S_△ABC=

于是S_△ABC=----------------------------10分

由≥－1,得S_△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.

∴S_△ABC的最大值是.     -------------------------------12分

（文）解:（Ⅰ）设，由知，点C的轨迹为．

由　消y，得　．

设，，则，．………………………4分

所以，，

所以　，

于是　　．………………………………………………………6分

（Ⅱ）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为．

由　消x，得．

设，，则，．…………………8分

因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以　，

即，　　　　……………………10分

所以　，得　．

所以，存在．………………………………………………………12分

22．（本小题满分14分）

（理 ）解:（I）　由已知，得　，

即，　　　　　………………………2分

所以数列｛｝是公比为2的等比数列，首项为＝2，

故＝.　　　　　　　………………………４分

也可以用累积法

（II）　因为＝,

若＝恒成立，则恒成立，所以

　　　………………………６分

解出　A＝1，B＝－4，C＝6．

故存在常数A，B，C满足条件.　　　　　　 ………………………８分

（III）＝(b₂－b₁)＋(b₃－b₂)＋(b₄－b₃)＋…＋(b_n+1－b_n)＝b_n+1－b₁

　　　　　　＝

＝  　　　　　………………………11分

＜

＝

＝

＝  

≤ ．………………………14分

别证：可以应用数学归纳法．

（文） 解:（Ⅰ），.      ---------------4分

（Ⅱ）∵，且  ∴.-------------------------------8分

（Ⅲ）设第个图形的边数为

∴，且,  ∴ .

∵第个图形的面积为    则   ------------------------10分 

==

∴

                  ……

------------------------------------------12分

上述个式子两边分别相加得：

]

∴                        

∴      -------------------------------------------------------------------14分