（几何证明选讲选做题）如图，圆O内的两条弦AB、CD相交于P，PA=PB=4，PD=4PC．若O到AB的距离为4，则O到CD的距离为    ．

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（2013•江门一模）（几何证明选讲选做题）如图，圆O内的两条弦AB、CD相交于P，PA=PB=4，PD=4PC．若O到AB的距离为4，则O到CD的距离为

7

7

．

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三选一题（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A（几何证明选讲）如图，⊙O的两条弦AB，CD相交于圆内一点P，若PA=PB，PC=2，PD=8，OP=4，则该圆的半径长为

 

．
B（坐标系与参数方程）曲线C₁：

x=1+cosθ  y=sinθ

(θ为参数)上的点到曲线C₂：

x=-2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

(t为参数)上的点的最短离为

 

．
C（不等式选讲）不等式|2x-1|-|x-2|＜0的解集为

 

．

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三选一题（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A（几何证明选讲）如图，⊙O的两条弦AB，CD相交于圆内一点P，若PA=PB，PC=2，PD=8，OP=4，则该圆的半径长为    ．
B（坐标系与参数方程）曲线C₁：上的点到曲线C₂：上的点的最短离为    ．
C（不等式选讲）不等式|2x-1|-|x-2|＜0的解集为    ．

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在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：（几何证明选讲）
如图，从O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，
求证：O，C，P，D四点共圆．
B．选修4-2：（矩阵与变换）
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e₁=[

1 1

]，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．
C．选修4-4：（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p=2

2

sin（θ-

π

4

），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．
D．选修4-5（不等式选讲）
已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

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一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。)

     B、D、C、A      B、A、D、B

二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分。其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分。)

9、；  10、800；    11、①③④；   12、，1005；

13、   14、；   15、

三、解答题：(本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。)

16、（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，MN底面ABCD

∴MN⊥PA   又MN⊥AD   且PA∩AD = A

∴MN⊥平面PAD  ………………………………………………4分

MN平面PMN   ∴平面PMN⊥平面PAD  ……………………6分

（2）∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA = A   ∴BC⊥平面PBA

∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角                  

即……………………………………………10分

在中，

∴  ………………12分

17、解：（1）由题意可知、、、、这5个点相邻两点间的弧长为

的可能的取值有，2，3，4

 ，

，

于是=×＋2×＋3×＋4×=2。…………………6分

（2）连结MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，易求得OD=，

当S点在线段MP上时，三角形SAB的面积等于××8 =，

所以只有当S点落在阴影部分时，面积才能大于，

S_阴影 = S_扇形OMP - S_△OMP = ××-×= 4-8，

所以由几何概型公式的三角形SAB的面积大于的概

率P =。  …………………12分

18、解：（1）证明：在中，由题设，AD = 2可得

，于是。在矩形中，.

又，所以平面.…………………………………….4分

（2）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.

在中，由余弦定理得

由（1）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故………………………….8分

（3）解：过点P做于H，过点H做于E，连结PE

平面，平面，.又，

因而平面，平面_，

又，，平面，又平面

，从而是二面角的平面角…………….12分

由题设可得，

于是在中，….14分

19、解: (1)依题意知，数列是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以

，   ……………3分

＝

＝＝  …………………7分

　(Ⅱ)依题意得，，即，

可化简得， ①            …………………10分

可设，又，可知是减函数，

是增函数，   又

则时不等式①成立          …………………13分

答：从今年起该企业至少经过4年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润……………………………………………….……14分

20、（1）连接， E、F分别为、DB的中点， EF//，

又平面，EF平面，

 EF//平面………………………………………………………4分

   （2）正方体中，平面，平面

则，正方形中，，

又= B，AB、平面,

则平面，平面，所以，又EF//,

所以EF. ……………………………………………………………9分

(3)正方体的棱长为2，、分别为、DB的中点。

              ……………………………..………………14分

21、解：（1）…………………………………2分

在上是增函数，在上恒成立

即…………………………………………4分

（当且仅当时取等号）

所以  ……………………..………………6分

（2）设,则

当时，在区间上是增函数

所以的最小值为 ……………………………………………10分

当时，

因为函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，

又在上为连续函数，所以在上为增函数，

所以的最小值为

……………………………………14分