题目列表(包括答案和解析)
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为
，
．
⑴把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
⑵求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
【解析】本试题主要是考查了极坐标的返程和直角坐标方程的转化和简单的圆冤啊位置关系的运用
（1）中，借助于公式
，
，将极坐标方程化为普通方程即可。
（2）中，根据上一问中的圆的方程，然后作差得到交线所在的直线的普通方程。
解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(I)，，由得
．所以
．
即
为⊙O1的直角坐标方程．
同理
为⊙O2的直角坐标方程．
(II)解法一:由
解得
，
即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．
解法二: 由,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x
如图，已知直线
（
）与抛物线
：
和圆
：
都相切，
是的焦点．
（Ⅰ）求
与
的值；
（Ⅱ）设
是上的一动点，以为切点作抛物线的切线
，直线交
轴于点
，以
、
为邻边作平行四边形
，证明：点
在一条定直线上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记点所在的定直线为
， 直线与轴交点为
，连接
交抛物线于
、
两点，求△
的面积
的取值范围．
【解析】第一问中利用圆：
的圆心为
，半径
．由题设圆心到直线的距离
．
即
，解得
（
舍去）
设
与抛物线的相切点为
，又
，得
，
．
代入直线方程得：
，∴
所以，
第二问中，由（Ⅰ）知抛物线方程为
，焦点
． ………………（2分）
设
，由（Ⅰ）知以为切点的切线的方程为
．
令
，得切线交轴的点坐标为
所以
，
， ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形
∴
因为是定点，所以点在定直线
第三问中，设直线
，代入
得
结合韦达定理得到。
解：（Ⅰ）由已知，圆：
的圆心为，半径．由题设圆心到直线的距离．
即，解得（舍去）． …………………（2分）
设与抛物线的相切点为，又，得，．
代入直线方程得：，∴
所以，．
……（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，焦点． ………………（2分）
设，由（Ⅰ）知以为切点的切线的方程为．
令，得切线交轴的点坐标为
所以，， ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形，
∴ 因为是定点，所以点在定直线上．…（2分）
（Ⅲ）设直线，代入得， ……）得
，
…………………………… （2分）
，
．
△的面积范围是
解关于
的不等式：
【解析】解：当
时，原不等式可变为
，即
（2分）
当
时，原不等式可变为
（5分） 若
时，的解为
（7分）
若
时，的解为
（9分） 若
时，无解（10分） 若
时，的解为
（12分综上所述
当时，原不等式的解为
当时，原不等式的解为
当时，原不等式的解为
当时，原不等式的解为
当时，原不等式的解为： 
| 7 |
| 3 |
| 6 |
| 2 |
| 7 |
| 3 |
| 6 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
| 6 |
| 3 |
| 7 |
| 2 |
| 6 |
| 3 |
| 7 |
| 2 |
| 6 |
| 3 |
| 7 |
| 2 |
| 6 |
| 3 |
| 14 |
| 18 |
| 14 |
| 18 |
| 7 |
| 2 |
| 6 |
| 3 |
专题一数与式的运算参考答案
例1 （1）解法1：由
，得
；
①若
，不等式可变为
，即
； ②若
，不等式可变为
，即
，解得：
．综上所述，原不等式的解为
．
解法2： 
表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式
的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为．
解法3：
，所以原不等式的解为．
（2）解法一：由
，得
；由
，得
；
①若
，不等式可变为
，即
＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若
，不等式可变为
，即1＞4，∴不存在满足条件的x；
③若
，不等式可变为
，即
＞4， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．
解法二：如图，
表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．
所以，不等式
＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，
可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．
所以原不等式的解为x＜0，或x＞4．
例2（1）解：原式=
说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
例3解：
原式=
例4解：
原式=
①
②，把②代入①得原式=
例5解：（1）原式=
（2）原式=
说明：注意性质
的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．
（3）原式=
（4） 原式=
例6解：
原式=
说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．
【巩固练习】
1．
2． 
3．
或
4．
5．
6．
专题二因式分解答案
例1分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2)
中提取公因式后，括号内出现
，可看着是
或
．
解：(1) 
．
(2) 
例2（1）分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．
解：
（2）分析：先将系数2提出后，得到
，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．
解：
例5 解： 
【巩固练习】
1．
．
2．
；
3．
其他情况如下：
；
.
4．
专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案
例1解：∵
，∴(1)
； (2) 
； (3) 
；(4)
．
例2解：可以把所给方程看作为关于
的方程，整理得：
由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：
，
代入原方程得：
．综上知：
例3解：由题意，根据根与系数的关系得：
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
，
，
，
等等．韦达定理体现了整体思想．
【巩固练习】
1． A； 2．A； 3．
； 4．
； 5． 
(1)当
时，方程为
，有实根；(2) 当
时，
也有实根．6．(1) 
； (2) 
．
专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案
例1 解：(1)因为
、
关于x轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以
，
，则
、
．
(2)因为、关于y轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，
，
，则
、
．
(3)因为、关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以，，则、．
例2分析：因为直线过第一、三象限，所以可知k>0，又因为b＝2，所以直线与y轴交于（0，2），即可知OB＝2，而ΔAOB的面积为2，由此可推算出OA＝2，而直线过第二象限，所以A点坐标为（－2，0），由A、B两点坐标可求出此一次函数的表达式。
解：∵B是直线y＝kx＋2与y轴交点，∴B（0，2），∴OB＝2，
，过第二象限，
【巩固练习】
1． B
2． D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)． 3．（1）
．（2）点
的坐标是
或
．
专题五二次函数参考答案
例1 解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；
采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B
和C
，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．
例2 分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．
解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（B），将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有
解得 k＝－1，b＝200．∴ y＝－x＋200．
设每天的利润为z（元），则z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，
∴当x＝160时，z取最大值1600．
答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．
解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；
（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；
（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；
（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．
说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．
例4（1）分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件――最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为
，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴
，解得a＝－2．
∴二次函数的解析式为
，即y＝－2x2＋8x－7．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
（2） 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，展开，得 y＝ax2＋2ax－
，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－
．所以，二次函数的表达式为y＝
，或y＝－
．
分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a＝－
，或a＝．所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．
说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．
（3）解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．
【巩固练习】
1．（1）D （2）C （3）D 2．（1）y＝x2＋x－2 （2）y＝－x2＋2x＋3
3．（1）
．（2）
．
（3）
．（4）
4．当长为
5．（1）函数f（x）的解析式为
（2）函数y的图像如图所示
（3）由函数图像可知，函数y的取值范围是0＜y≤2．
专题六二次函数的最值问题参考答案
例1分析：由于函数
和
的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．
解：（1）因为二次函数
中的二次项系数2＞0，所以抛物线有最低点，即函数有最小值．因为=
，所以当
时，函数有最小值是
．
（2）因为二次函数
同步练习册答案
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