已知问题：上海迪斯尼工程某 施工工地上有一堵墙，工程队欲将长为4a（a＞0）的建筑护栏（厚度不计）借助这堵墙围成矩形的施工区域（如图1），求所得区域的最大面积．解决这一问题的一种方法是：作出护栏关于墙面的轴对称图形（如图2），则原问题转化为“已知矩形周长为8a，求面积的最大值”从而轻松获解．参考这种借助对称图形解决问题的方法，对于下列情形：已知两堵墙互相垂直围成“L”形，工程队将长为4a（a＞0）的建筑护栏借助墙角围成四边形的施工区域（如图3），可求得所围区域的最大面积为

2(

2

+1)a2

2(

2

+1)a2

．

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专题一数与式的运算参考答案

例1 （1）解法1：由，得；

①若，不等式可变为，即； ②若，不等式可变为，即，解得：．综上所述，原不等式的解为．

解法2： 表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为．

解法3：，所以原不等式的解为．

（2）解法一：由，得；由，得；

①若，不等式可变为，即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可变为，即1＞4，∴不存在满足条件的x；

③若，不等式可变为，即＞4， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．

综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．

解法二：如图，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．

所以，不等式＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，

可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．

所以原不等式的解为x＜0，或x＞4．

例2（1）解：原式=

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．

（2）原式=

（3）原式=

（4）原式=

例3解：    

原式=

例4解：

原式=  ①

 ②，把②代入①得原式=

例5解：（1）原式=

        （2）原式=

说明：注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．

（3）原式=

（4） 原式=

例6解：

原式=

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．

【巩固练习】

 1．   2．     3．或          4．

  5．   6．

专题二因式分解答案

例1分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现，可看着是或．

解：(1) ．

(2)  

例2（1）分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解：

（2）分析：先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．

解：

例5  解：

【巩固练习】

1．

．

2．；    

3．  

其他情况如下：；

.

4．

专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案

例1解：∵，∴(1) ； (2) ；  (3) ；(4)．

例2解：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得：

由于是实数，所以上述方程有实数根，因此：，

代入原方程得：．综上知：

例3解：由题意，根据根与系数的关系得：

(1)

(2)

(3)

(4)

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，，，等等．韦达定理体现了整体思想．

【巩固练习】

1． A；  2．A；  3．；   4．；  5．   (1)当时，方程为，有实根；(2) 当时，也有实根．6．(1) ；  (2) ．

专题四  平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案

例1 解：(1)因为、关于x轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以，，则、．

(2)因为、关于y轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，，，则、．

(3)因为、关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以，，则、．

例2分析：因为直线过第一、三象限，所以可知k>0，又因为b＝2，所以直线与y轴交于（0，2），即可知OB＝2，而ΔAOB的面积为2，由此可推算出OA＝2，而直线过第二象限，所以A点坐标为（－2，0），由A、B两点坐标可求出此一次函数的表达式。

解：∵B是直线y＝kx＋2与y轴交点，∴B（0，2），∴OB＝2，

，过第二象限，

【巩固练习】

1． B   2． D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．  3．（1）．（2）点的坐标是或．

专题五二次函数参考答案

例1 解：∵y＝－3x²－6x＋1＝－3(x＋1)²＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；

当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；

当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；

采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

例2  分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．

解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（B），将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有  解得  k＝－1，b＝200．∴  y＝－x＋200．

设每天的利润为z（元），则z＝(－x+200)(x－120)＝－x²＋320x－24000＝－(x－160)²＋1600，

∴当x＝160时，z取最大值1600．

答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．

例3  分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．

  解：（1）当a＝－2时，函数y＝x²的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；

    （2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a²；

（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；

（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a²；当x＝0时，函数取最小值y＝0．

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．

例4（1）分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件――最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴，解得a＝－2．

∴二次函数的解析式为，即y＝－2x²＋8x－7．

 说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

（2） 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，展开，得   y＝ax²＋2ax－3a， 顶点的纵坐标为 ，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函数的表达式为y＝，或y＝－．

分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．

解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y＝a(x＋1)²＋2，或y＝a(x＋1)²－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)²＋2，或0＝a(1＋1)²－2．∴a＝－，或a＝．所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)²＋2，或y＝(x＋1)²－2．

说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

（3）解：设该二次函数为y＝ax²＋bx＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

   解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．所以，所求的二次函数为y＝－2x²＋12x－8．

【巩固练习】

1．（1）D   （2）C  （3）D     2．（1）y＝x²＋x－2    （2）y＝－x²＋2x＋3

3．（1）．（2）．

 （3）．（4）

4．当长为6m，宽为3m时，矩形的面积最大．

5．（1）函数f（x）的解析式为  

（2）函数y的图像如图所示

（3）由函数图像可知，函数y的取值范围是0＜y≤2．

专题六二次函数的最值问题参考答案

例1分析：由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．

解：（1）因为二次函数中的二次项系数2＞0，所以抛物线有最低点，即函数有最小值．因为=，所以当时，函数有最小值是．

（2）因为二次函数