平面直角坐标系中，已知点P₀（1，0），P₁（2，1），且

PnPn+1

=-

1

2

Pn-1Pn

（n∈N^*）．当n→+∞时，点P_n无限趋近于点M，则点M的坐标为．

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，-1），B（-1，3），若点C满足

OC

=α

OA

+β

OB

，其中0≤α，β≤1，且α+β=1，则点C的轨迹方程为．

平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F₁（0，-c），F₂（0，c），A（

3

c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；
（2）已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)（其中a²-b²=c²）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF₁与直线DF₂的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足

OC

=α

OA

+β

OB

，其中α，β∈R，且α-2β=1．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设点C的轨迹与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于两点M，N，且以MN为直径的圆过原点，求证：

1

a2

-

1

b2

为定值．