在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(

3

k+1)x+(k-

3

)y-(3k+

3

)=0恒过定点F．设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2+

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设（m，n）是椭圆C上的任意一点，圆O：x²+y²=r²（r＞0）与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l₁：mx+ny=1和l₂：mx+ny=4的位置关系．

在平面直角坐标系中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），圆O：x²+y²=a²，且过点A（

a2

c

，0）所作圆的两条切线互相垂直．
（Ⅰ）求椭圆离心率；
（Ⅱ）若直线y=2

3

与圆交于D、E；与椭圆交于M、N，且DE=2MN，求椭圆的方程；
（Ⅲ）设点T（0，3）在椭圆内部，若椭圆C上的点到点P的最远距离不大于5

2

，求椭圆C的短轴长的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点到椭圆E的两个焦点距离之和为2

3

，椭圆E的离心率为

6

3

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若b为椭圆E的半短轴长，记C（0，b），直线l经过点C且斜率为2，与直线l平行的直线AB过点（1，0）且交椭圆于A、B两点，求△ABC的面积S的值．

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，-1），B点在直线y=-3上，M点满足

MB

∥

OA

，

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，M点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．