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    已知直线与曲线:交于两点.的中点为.若直线和(为坐标原点)的斜率都存在.则.这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理 .(Ⅰ)证明有心圆锥曲线的“垂径定理 ,(Ⅱ)利用有心圆锥曲线的“垂径定理 解答下列问题: 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知直线l：y=ax+1-a（a∈R）．若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y=-2|x-1|；②y=x2；③（x-1）2+（y-1）2=1；④x2+3y2=4；则其中直线l的“绝对曲线”有（　　）

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    已知直线l：y=ax+1-a（a∈R），若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出的三条曲线方程：
    ①y=-2|x-1|；
    ②（x-1）2+（y-1）2=1；
    ③x2+3y2=4．
    其中直线l的“绝对曲线”有
     
    ．（填写全部正确选项的序号）

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    已知双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的一个焦点是F2（2，0），且b=
    		3
    a    ．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）设经过焦点F2的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x-1）2-y2=3上．
    （3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由．

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    精英家教网已知椭圆
    x2
    16
    +
    y2
    12
    =1，点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，Q为射线F1P延长线上一点，且|PQ|=|PF2|，设R为F2Q的中点．
    （1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
    （2）设点R形成的曲线为C，直线l：y=k（x+4
    		2
    ）与曲线C相交于A、B两点，若∠AOB=90°时，求k的值．

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    已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
    （1）求证：若曲线C与直线l相切，则有（a-2）（b-2）=2；
    （2）求线段AB中点的轨迹方程；
    （3）求△AOB面积的最小值．

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    一、 A C C D A  B D B A C    D C

    二、13.   14. ①甲乙的平均数相同，均为85；② 甲乙的中位数相同，均为86；       ③乙的成绩较稳定，甲的成绩波动性较大；……       15.       16.

    三、17（Ⅰ）

                =

                =

    由得，或

    由得 或.

    故函数的零点为和.       ……………………………………6分

    （Ⅱ）由，得

    由得 .又

    由得 

             ， 

                      ……………………………………12分

    18. 由三视图可知：，底面ABCD为直角梯形,，PB=BC=CD=1,AB=2

                                …………3分

    (Ⅱ) 当M为PB的中点时CM∥平面PDA.

    取PB中点N,连结MN，DN，可证MN∥DN且MN＝DN

    ∴CM∥DN，∴CM∥平面PDA                                …………6分

     (Ⅲ)分别以BC、BA、BP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.

    假设在BC边上存在点Q，使得二面角A-PD-Q为  

    ∴

     

    同理，，可得

    =，

    解得………………………………………12分

    19. （Ⅰ）设“世博会会徽”卡有张，由,得=6.

     故“海宝”卡有4张. 抽奖者获奖的概率为.                 …………6分

    （Ⅱ），    的分布列为

    或

      

    1

    2

    3

    4

     

    p

                                                                             ………………………………12分

    20. （Ⅰ）证明 设

    相减得  

    注意到  

    有        

    即                        …………………………………………5分

    （Ⅱ）①设

    由垂径定理，

    即       

    化简得  

    当与轴平行时，的坐标也满足方程.

    故所求的中点的轨迹的方程为；

    …………………………………………8分

    ②     假设过点P(1,1)作直线与有心圆锥曲线交于两点，且P为的中点，则

             

    由于 

    直线，即，代入曲线的方程得

             即    

             由  得.

    故当时，存在这样的直线，其直线方程为；

    当时，这样的直线不存在.        ………………………………12分

    21. （Ⅰ）

    由得                   …………………………3分     

    　　　

    当时，当时，

    故函数的单调增区间为，单调减区间为.   ………………………5分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）

    由得 

    当时，当时，

    在处取得极大值,

    ……………………………………7分

    （1）       当时，函数在区间为递减 ，

    （2）     当时， ，

    （3）       当时，函数在区间为递增 ，

                                      

                                              ………………………………………12分

    22. （Ⅰ）

             

                  …………………………………6分

    （Ⅱ）解法1：由，得

    猜想时，一切时恒成立.

    ①当时，成立.

    ②设时，，则由

    得=

    *时，

    由①②知时，对一切，有.   ………………………………10分

    解法2：假设

    记，可求

    故存在，使恒成立.            …………………………………10分

    （Ⅲ）证法1：

    ，由（Ⅱ）知

                                         …………………………………14分

    证法2：

    猜想.数学归纳法证明

    ①当时，成立

    ②假设当时，成立

    由①②对，成立，下同证法1。

                                                …………………………………14分

     

     

     

     

     


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