题目列表(包括答案和解析)
（12分）已知
函数
.
（Ⅰ）若
在
处取得极值,求函数
的单调区间；
在区间
的最大值
.已知函数
（Ⅰ）若
在
处取得极值，求
的值；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）证明：
为自然对数的底数）
已知函数
（Ⅰ）若
在
处取得极值，求
的值；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）证明：
为自然对数的底数）
已知
，函数
.
（Ⅰ）若
在
处取得极值，求函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数在区间
上的最大值
.
（注：
）
设函数
在
处取得极值，且曲线
在点
处的切线垂直于直线
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若函数
，讨论
的单调性
一、 A C C D A B D B A C D C
二、13. 
14. ①甲乙的平均数相同，均为85；② 甲乙的中位数相同，均为86； ③乙的成绩较稳定，甲的成绩波动性较大；…… 15.
16.
三、17（Ⅰ）
=
=
由
得，
或
由
得 
或
.
故函数
的零点为
和
. ……………………………………6分
（Ⅱ）由
，
得 
由
得 
.又
由
得 
，
……………………………………12分
18. 由三视图可知：
，底面ABCD为直角梯形,，PB=BC=CD=1,AB=2
…………3分
(Ⅱ) 当M为PB的中点时CM∥平面PDA.
取PB中点N,连结MN，DN，可证MN∥DN且MN＝DN
∴CM∥DN，∴CM∥平面PDA …………6分
(Ⅲ)分别以BC、BA、BP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
假设在BC边上存在点Q，使得二面角A-PD-Q为
∴
同理，
，可得
=
，
解得
………………………………………12分
19. （Ⅰ）设“世博会会徽”卡有
张，由
,得=6.
故“海宝”卡有4张. 抽奖者获奖的概率为
.
…………6分
（Ⅱ）
， 
的分布列为 
或
1
2
3
4
p
………………………………12分
20. （Ⅰ）证明 设
相减得 
注意到 
有
即
…………………………………………5分
（Ⅱ）①设
由垂径定理，
即 
化简得 
当
与
轴平行时，
的坐标也满足方程.
故所求的中点的轨迹
的方程为；
…………………………………………8分
②
假设过点P(1,1)
作直线
与有心圆锥曲线
交于
两点，且P为
的中点，则
由于
直线
，即
，代入曲线
的方程得
即 
由 
得
.
故当时，存在这样的直线，其直线方程为；
当
时，这样的直线不存在. ………………………………12分
21. （Ⅰ）
由
得 
…………………………3分
当
时，
当
时，
故函数
的单调增区间为
，单调减区间为
. ………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）
由
得 
当
时，当
时，
在
处取得极大值, 
……………………………………7分
（1）
当
时，
函数在区间为
递减 ，
（2）
当
时， 
，
（3）
当
时，
函数在区间为递增 ，
………………………………………12分
22. （Ⅰ）
…………………………………6分
（Ⅱ）解法1：由
，得
猜想时，一切
时
恒成立.
①当
时，
成立.
②设
时，
，则由
得
=
时，
由①②知时，对一切，有. ………………………………10分
解法2：假设
记
，可求
故存在，使恒成立.
…………………………………10分
（Ⅲ）证法1：
，由（Ⅱ）知
…………………………………14分
证法2：
猜想
.数学归纳法证明
①当时，成立
②假设当
时，
成立
由①②对，成立，下同证法1。
…………………………………14分
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