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    ③函数在R上存在反函数, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f-1（x），且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜
    5
    2
    x    ，定义数列an：a0=8，a1=10，an=f（an-1），n=1，2，…．
    （1）求证：an+1+an-1＜
    5
    2
    an(n=1，2，…)    ；
    （2）设bn=an+1-2an，n=0，1，2，…．求证：bn＜(-6)(
    1
    2
    )n    （n∈N*）；
    （3）是否存在常数A和B，同时满足①当n=0及n=1时，有an=
    A•4n+B
    2n
    成立；②当n=2，3，…时，有an＜
    A•4n+B
    2n
    成立．如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论．

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    设函数y=f（x）由方程x|x|+y|y|=1确定，下列结论正确的是
     
    （请将你认为正确的序号都填上）
    （1）f（x）是R上的单调递减函数；
    （2）对于任意x∈R，f（x）+x＞0恒成立；
    （3）对于任意a∈R，关于x的方程f（x）=a都有解；
    （4）f（x）存在反函数f-1（x），且对于任意x∈R，总有f（x）=f-1（x）成立．

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    记函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，则称以（x0，x0）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．
    （1）若函数f(x)=
    3x+a
    x+b
    图象上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件；
    （2）设点P（x，y）到直线y=x的距离d=
    |x-y|
    		2
    ．在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A1，A2，P为函数f（x）图象上的另一点，其纵坐标yP＞3，求点P到直线A1A2距离的最小值及取得最小值时点P的坐标．
    （3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例．若地方不够，可答在试卷的反面．

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    设函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，则称以（x0，x0）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．
    （1）若函数f（x）=
    3x+ax+b
    图象上有两个关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件；
    （2）在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A、B，点M为函数图象上的另一点，且其纵坐标yM＞3，求点M到直线AB距离的最小值及取得最小值时M点的坐标；
    （3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点的有奇数个”是否正确？若正确，给出证明，并举一例；若不正确，请举一反例说明．

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    设函数y=f（x）由方程x|x|+y|y|=1确定，下列结论正确的是 ________（请将你认为正确的序号都填上）
    （1）f（x）是R上的单调递减函数；
    （2）对于任意x∈R，f（x）+x＞0恒成立；
    （3）对于任意a∈R，关于x的方程f（x）=a都有解；
    （4）f（x）存在反函数f-1（x），且对于任意x∈R，总有f（x）=f-1（x）成立．

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    2009年4月

    一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．

    1．A    2．D    3．B    4．A    5．D    6．C    7．D    8．B    9．B    10．C

    二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．

    11．                                    12．                                  13．

    14．                                  15．①②⑤

    三、解答题：本题共6小题，共75分．

    16．解：(1) ??????????????????????????????????????? 3分

    ∴

    ∵

    ∴ ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

    ∴

    (2) ????????????????????????????????????????????????????? 8分

    ∴ ????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

    ∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

    ∴ ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

    ∴ ?????????????? 13分

    17．解：(1) 有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为??????????????????????????? 2分

    ∴ ????????????????????????????????????????????????????????? 5分

    (2) ?????????????????????????????????????????????????????? 7分

    ?????????????????????????????? 9分

    ??????????????????????????????? 11分

    ∴ 的分布列为

    35

    40

    45

    50

    P

    ???????????????????????????????????? 13分

    18．(1) 证明：取CE中点M，则 FMDE

    ∵ ABDE       ∴ ABFM

    ∴ ABMF为平行四边形

    ∴ AF∥BM

    又AF平面BCE，BM平面BCE

    ∴ AF∥平面BCE??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

    (2) 解：过C作l∥AB，则l∥DE     ∴ 平面ABC平面CDE = l

    ∵ AB⊥平面ACD      ∴ l⊥平面ACD

    ∴ ∠ACD即为所求二面角的平面角，为60?????????????????????????????????? 8分

    (3) 解：设B在平面AFE内的射影为，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G．

    ∴ BE与平面AFE所成角为

    ∵ AF⊥CD，AF⊥DE   ∴ AF⊥平面CDE    ∴ AF⊥MN ∴ MN⊥平面AEF

    ∵ BM∥平面AEF       ∴

    由△CGF∽△EDF，得    ∴

    而     ∴

    ∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

    19．解：(1) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    由       由

    ∴ 上单调递减，在上单调递增????????????????????????? 5分

    (2) ?????????????????????????????????????????? 6分

    ∵ 上递减     ∴ ??????????????? 9分

    设    ∵    ∴上递减

    ∴  即

    ∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

    20．解：(1)  B（0，? b），A（，0），F（c，0），P（c，）

    ∵       ∴ D为线段FP的中点，

    ∴ D为（c，）??????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    ∴ ，∴ a = 2b，

    ∴ ?????????????????????????????????????????????? 5分

    (2)  a = 2，则b = 1，B（0，?1）     双曲线的方程为   ①

    设M（x1，y1），N（x2，y2），C（0，m）

    由

    由已知???????????????????????????? 7分

    设

    整理得：

    对满足的k恒成立

    ∴ ．

    故存在y轴上的点C（0，4），使为常数17．????????????????????? 12分

    21．解：(1) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

    切线方程为与y = kx联立得：

    ，令y = 0得：xB = 2t????????????????????????????????????????????????? 3分

    ∴ ??????????????????????????????????????????????????????? 4分

    (2) 由??????????????????????????????????????????????????? 5分

    两边取倒数得：      ∴

    ∴ 是以为首项，为公比的等比数列（时）

    或是各项为0的常数列（k = 3时），此时an = 1

    时??????????????????????????????? 7分

    当k = 3时也符合上式

    ∴????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

    (3) 作差得

    其中

    由于 1 < k < 3，∴

    ∴

    当?????????????????????????????????????????????????? 12分

     

     


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