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数列{a_n}的通项公式为a_n=（n∈N^*），设f（n）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）…（1-a_n）．
（1）求f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）求f（n）的表达式；
（3）数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2f（n）-1，它的前n项和为g（n），求证：当n∈N^*时，g（2ⁿ）-≥1．

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设数列{a_n}满足，令．
（1）试判断数列{b_n}是否为等差数列？并求数列{b_n}的通项公式；
（2）令，是否存在实数a，使得不等式对一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）比较与的大小．

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2009年4月

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．

1．A    2．D    3．B    4．A    5．D    6．C    7．D    8．B    9．B    10．C

二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．

11．                                    12．                                  13．

14．                                  15．①②⑤

三、解答题：本题共6小题，共75分．

16．解：(1) ??????????????????????????????????????? 3分

∴

∵

∴ ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

∴

(2) ????????????????????????????????????????????????????? 8分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴ ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴ ?????????????? 13分

17．解：(1) 有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为??????????????????????????? 2分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????? 5分

(2) ?????????????????????????????????????????????????????? 7分

?????????????????????????????? 9分

??????????????????????????????? 11分

∴ 的分布列为

35

40

45

50

P

???????????????????????????????????? 13分

18．(1) 证明：取CE中点M，则 FMDE

∵ ABDE       ∴ ABFM

∴ ABMF为平行四边形

∴ AF∥BM

又AF平面BCE，BM平面BCE

∴ AF∥平面BCE??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

(2) 解：过C作l∥AB，则l∥DE     ∴ 平面ABC平面CDE = l

∵ AB⊥平面ACD      ∴ l⊥平面ACD

∴ ∠ACD即为所求二面角的平面角，为60?????????????????????????????????? 8分

(3) 解：设B在平面AFE内的射影为，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G．

∴ BE与平面AFE所成角为

∵ AF⊥CD，AF⊥DE   ∴ AF⊥平面CDE    ∴ AF⊥MN ∴ MN⊥平面AEF

∵ BM∥平面AEF       ∴

由△CGF∽△EDF，得    ∴

而     ∴

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

19．解：(1) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

由       由

∴ 上单调递减，在上单调递增????????????????????????? 5分

(2) ?????????????????????????????????????????? 6分

∵ 上递减     ∴ ??????????????? 9分

设    ∵    ∴上递减

∴  即

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：(1)  B（0，? b），A（，0），F（c，0），P（c，）

∵       ∴ D为线段FP的中点，

∴ D为（c，）??????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∴ ，∴ a = 2b，

∴ ?????????????????????????????????????????????? 5分

(2)  a = 2，则b = 1，B（0，?1）     双曲线的方程为   ①

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），C（0，m）

由

由已知???????????????????????????? 7分

设

整理得：

对满足的k恒成立

∴ ．

故存在y轴上的点C（0，4），使为常数17．????????????????????? 12分

21．解：(1) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

切线方程为与y = kx联立得：

，令y = 0得：x_B = 2t????????????????????????????????????????????????? 3分

∴ ??????????????????????????????????????????????????????? 4分

(2) 由??????????????????????????????????????????????????? 5分

两边取倒数得：      ∴

∴ 是以为首项，为公比的等比数列（时）

或是各项为0的常数列（k = 3时），此时a_n = 1

时??????????????????????????????? 7分

当k = 3时也符合上式

∴????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

(3) 作差得

其中

由于 1 < k < 3，∴

∴

当?????????????????????????????????????????????????? 12分