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A．（几何证明选讲选做题） 如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE．

B．（矩阵与变换选做题） 已知M＝，N＝，设曲线y＝sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．

C．（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系xOy中，直线m的参数方程为（t为参数）；在以O为极点、射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsinθ＝8cosθ．若直线m与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．

D．（不等式选做题）

设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋≥2y＋3．

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A．（选修4-4坐标系与参数方程）已知点A是曲线ρ=2sinθ上任意一点，则点A到直线的距离的最小值是    ．
B．（选修4-5不等式选讲）不等式|x-log₂x|＜x+|log₂x|的解集是    ．
C．（选修4-1几何证明选讲）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是    ．

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A．（几何证明选讲选做题） 如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE．

B．（矩阵与变换选做题） 已知M＝，N＝，设曲线y＝sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．

C．（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系xOy中，直线m的参数方程为（t为参数）；在以O为极点、射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsinθ＝8cosθ．若直线m与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长．

D．（不等式选做题）

设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x＋≥2y＋3．

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一、选择题

1―5  ACDAA    6―10  BACDB    11―12  AC

二、填空题

13．-    14．12       15．-4或-26     16．②④

三、解答题

17．（1）由题意：

又A+B

   （2）当A+B=时，2A+2B=

按向量平移后得到函数的图象；故     10分

18．解：（1）ξ的可能取值为1，2，3，4

   （2）由题意，两人各自从自己箱子里任取一球比颜色共有C（种）不同情形，每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件A，

则P（A）=

甲获胜的概率小于乙获胜的概率，不公平。                                                    12分

19．解法：（1）连结AC交BD于点O，则PO⊥面ABCD，又AC⊥BD

  PA⊥BD，₁D₁，PA⊥B₁D₁

    （2）AO⊥BD，AO⊥PO，AO⊥面PBD，过点O作OM⊥PD于M，连结AM，则AM⊥PD

         ∠AMO就是二面角A－PD－O的平面角θ，又AB=2，

PA=

                                        8分

   （3）分别取AD、BC中点E、F，作平面PEF，交底面于两点S、S₁交B₁C₁于点B₂，过点B₂作B₂B₃⊥PS于点B₃，则B₂B₃⊥面PAD，又B₁C₁//AD，B₂B₃的长就是点B₁到平面PAD的距离，PO=AA₁=2

          EF= 

                                  12分

    _{方法二，坐标法略}

_{20．解：（1）当x=1时，}

   _{且x=1时也符合上式}

_{故                                                                                                              6分}

   _{（2）该商场预计第x月销售该商品的月利润为}

_（舍）

_{当1≤x＜5时，                                                                                                          10分}

当x=5时，元                                                          10分

综上，商场2009年第5月份的月利润最大为3125元。                                       12分

21．解：（1）以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，

设|CA|+|CB|=2a(a＞3)，点c的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且焦距2c=|AB|=6

此时|PA|=|PB|，P（0，±4）

                                                            5分

   （2）不妨设A点坐标为A（-3，0），M（x₁,y₁）,N(x₂,y₂)

    ①当直线MN的倾斜角不为90°时，设其方程为：

    代入椭圆方程化简得：

显然

由椭圆第二定义得：

     =25+

只要考虑：的最小值，即1

显然当k=0时，的最小值16。                                                         10分

   ②当直线MN的倾角为90°时，x₁=x₂=－3，得=

           这样的M、N不存在

即的最小值集合为空集。                                                         12分

22．解（1）：由

   即数列为公正比的等比数列

                                                                                                         4分

   （2）

即要证明：成立

令

即是减函数，故

都成立

故成立                                                                8分

   （3）

       利用错位相减法求得：

       故                                                                          12分