解法一（I）证明：
连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.
∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，
∴四边形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A1C. ………………………… 3分
∵DE
平面AB1D，A1C
平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分
（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG.
∵平面A1ABB1⊥平面ABC， ∴DF⊥平面A1ABB1，
∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影， ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1
∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………7分
设A1A
= AB = 1，在正△ABC中，DF=
在△ABE中，
，
在Rt△DFG中，
，
所以，二面角B―AB1―D的大小为
…………………………9分
（III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，
∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.
在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H，
则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离. ……………………………12分
由△CDH∽△B1DB，得
即点C到平面AB1D的距离是
……………………………………14分
建立空间直角坐标系D―xyz，如图，
（I）证明： 连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE. 设A1A
= AB = 1， 则 
 …………………………3分
 ，
 ……………………………………4分
（II）解： ，  ， 设 是平面AB1D的法向量，则 ， 故 ； 同理，可求得平面AB1B的法向量是 ……………………7分 设二面角B―AB1―D的大小为θ， ， ∴二面角B―AB1―D的大小为 …………………………9分
（III）解由（II）得平面AB1D的法向量为 ， 取其单位法向量 ∴点C到平面AB1D的距离 ……………………14分 18．（本小题满分14分）
（I）解：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故 将 ，得 
① ………………………… 3分
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得  ，
即 …………………………………………………… 5分
（II）解：设 由①，得 因为 ，代入上式，得 ……………8分 于是，△OAB的面积 
 ………………11分 其中，上式取等号的条件是 ……………………12分 由 将 这两组值分别代入①，均可解出 所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 ………………14分 19．（本小题满分14分）
（I）解：对函数 ……………………… 2分 要使 上是增函数，只要 上恒成立， 即 上恒成立 ……………………………………4分 因为 上单调递减，所以上的最小值是 ， 注意到a > 0，所以a的取值范围是 ……………………………………6分
（II）解：①当 时，由（I）知，上是增函数， 此时上的最大值是 ……………………8分 ②当 ， 解得 ……………………………………………………10分 因为 ， 所以 上单调递减， 此时上的最大值是 ………… 13分 综上，当时，上的最大值是 ； 当 时，上的最大值是 ……………14分 20．（本小题满分14分）
（I）解：显然 ……………………………………1分 当 ……………………………………3分 所以，
 …………………………6分
（II）解： 
 ………………………………………………9分
  ………………12分 当 所以，M的最小值为 ………………………………14分
| |
12．
13．1（2分），
（3分）
（3分）
，
，………………………………………2分
……………………………………………………… 4分
，
…………………………… 6分
…………………………………………8分
，………10分
………………12分
，
………………………………………6分
……………………………………………………10分
……12分