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    17． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分14分）

    已知函数。

    （1）证明：

    （2）若数列的通项公式为，求数列 的前项和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    （3）设数列满足：，设，

    若（2）中的满足对任意不小于2的正整数，恒成立，

    试求的最大值。

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    （本小题满分14分）已知，点在轴上，点在轴的正半轴，点在直线上，且满足，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    （Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程；

    （Ⅱ）过的直线与轨迹交于、两点，又过、作轨迹的切线、，当，求直线的方程.

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    （本小题满分14分）设函数

     （1）求函数的单调区间；

     （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

     （3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。

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    （本小题满分14分）

    已知，其中是自然常数，

    （1）讨论时, 的单调性、极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    （2）求证：在（1）的条件下，；

    （3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

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    （本小题满分14分）

    设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。

    （I）求数列的通项公式；

    （II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

    （III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。

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    一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

    2,4,6

    二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

    9．120   10．5    11．   12．   13．1（2分），（3分）

    14．4（2分），（3分）

    三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

    15．（本小题满分12分）

       （I）解：因为α为第二象限的角，，

    所以，，………………………………………2分

     ……………………………………………………… 4分

    又，

    所以， …………………………… 6分

       （II）解：因为β为第三象限的角，，

    所以， …………………………………………8分

    又，………10分

    所以， ………………12分

    16．（本小题满分12分）

       （I）解：记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A，则至少有一套试验成功的事件为

        由题意，这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1－p.

    所以，，

     

    从而，

    令 ………………………………………6分

       （II）解：ξ的可取值为0，1，2. ……………………………………………7分

     ……………………………………………………10分

    所以ξ的分布列为

    ξ

    0

    1

    2

    P

    0.49

    0.42

    0.09

    ξ的数学期望……12分

    解法一（I）证明：

    连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.

    ∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，

    ∴四边形A1ABB1是正方形，

    ∴E是A1B的中点，

    又D是BC的中点，

    ∴DE∥A1C. ………………………… 3分

    ∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

    ∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分

       （II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG.

    ∵平面A1ABB1⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A1ABB1，

    ∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，  ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1

    ∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………7分

    设A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

    在△ABE中，，

    在Rt△DFG中，，

    所以，二面角B―AB1―D的大小为 …………………………9分

       （III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，

    ∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.

    在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H，

    则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离. ……………………………12分

    由△CDH∽△B1DB，得

    即点C到平面AB1D的距离是 ……………………………………14分

    建立空间直角坐标系D―xyz，如图，

       （I）证明：

    连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.

    设A1A = AB = 1，

    则

     …………………………3分

    ，

     ……………………………………4分

       （II）解：， ，

    设是平面AB1D的法向量，则，

    故；

    同理，可求得平面AB1B的法向量是 ……………………7分

    设二面角B―AB1―D的大小为θ，，

    ∴二面角B―AB1―D的大小为 …………………………9分

       （III）解由（II）得平面AB1D的法向量为，

    取其单位法向量

    ∴点C到平面AB1D的距离 ……………………14分

    18．（本小题满分14分）

       （I）解：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故

    将，得

          ① ………………………… 3分

    由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得

    ，

    即 …………………………………………………… 5分

       （II）解：设由①，得

    因为，代入上式，得  ……………8分

    于是，△OAB的面积

                           ………………11分

    其中，上式取等号的条件是 ……………………12分

     

    由

    将这两组值分别代入①，均可解出

    所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 ………………14分

    19．（本小题满分14分）

       （I）解：对函数 ……………………… 2分

    要使上是增函数，只要上恒成立，

    即上恒成立 ……………………………………4分

    因为上单调递减，所以上的最小值是，

    注意到a > 0，所以a的取值范围是 ……………………………………6分

       （II）解：①当时，由（I）知，上是增函数，

    此时上的最大值是 ……………………8分

    ②当，

    解得 ……………………………………………………10分

    因为，

    所以上单调递减，

    此时上的最大值是………… 13分

    综上，当时，上的最大值是；

    当时，上的最大值是 ……………14分

    20．（本小题满分14分）

       （I）解：显然 ……………………………………1分

    当 ……………………………………3分

    所以，

              …………………………6分

       （II）解：

       ………………………………………………9分

      

         ………………12分

    当

    所以，M的最小值为 ………………………………14分

     

     


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