题目列表(包括答案和解析)
某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻(时) 的关系为,其中是与气象有关的参数,且.
(1)令, ,写出该函数的单调区间,并选择其中一种情形进行证明;
(2)若用每天的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作,求;
(3)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标?
【解析】第一问利用定义法求证单调性,并判定结论。
第二问(2)由函数的单调性知,
∴,即t的取值范围是.
当时,记
则
∵在上单调递减,在上单调递增,
第三问因为当且仅当时,.
故当时不超标,当时超标.
(本小题满分12分)已知函数
(I)若函数在区间上存在极值,求实数a的取值范围;
(II)当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围.
(Ⅲ)求证:解:(1),其定义域为,则令,
则,
当时,;当时,
在(0,1)上单调递增,在上单调递减,
即当时,函数取得极大值. (3分)
函数在区间上存在极值,
,解得 (4分)
(2)不等式,即
令
(6分)
令,则,
,即在上单调递增, (7分)
,从而,故在上单调递增, (7分)
(8分)
(3)由(2)知,当时,恒成立,即,
令,则, (9分)
(10分)
以上各式相加得,
即,
即
(12分)
。
已知函数(为实数).
(Ⅰ)当时,求的最小值;
(Ⅱ)若在上是单调函数,求的取值范围.
【解析】第一问中由题意可知:. ∵ ∴ ∴.
当时,; 当时,. 故.
第二问.
当时,,在上有,递增,符合题意;
令,则,∴或在上恒成立.转化后解决最值即可。
解:(Ⅰ) 由题意可知:. ∵ ∴ ∴.
当时,; 当时,. 故.
(Ⅱ) .
当时,,在上有,递增,符合题意;
令,则,∴或在上恒成立.∵二次函数的对称轴为,且
∴或或或
或. 综上
已知,函数
(1)当时,求函数在点(1,)的切线方程;
(2)求函数在[-1,1]的极值;
(3)若在上至少存在一个实数x0,使>g(xo)成立,求正实数的取值范围。
【解析】本试题中导数在研究函数中的运用。(1)中,那么当时, 又 所以函数在点(1,)的切线方程为;(2)中令 有
对a分类讨论,和得到极值。(3)中,设,,依题意,只需那么可以解得。
解:(Ⅰ)∵ ∴
∴ 当时, 又
∴ 函数在点(1,)的切线方程为 --------4分
(Ⅱ)令 有
① 当即时
(-1,0) |
0 |
(0,) |
(,1) |
||
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
极大值 |
极小值 |
故的极大值是,极小值是
② 当即时,在(-1,0)上递增,在(0,1)上递减,则的极大值为,无极小值。
综上所述 时,极大值为,无极小值
时 极大值是,极小值是 ----------8分
(Ⅲ)设,
对求导,得
∵,
∴ 在区间上为增函数,则
依题意,只需,即
解得 或(舍去)
则正实数的取值范围是(,)
已知函数 R).
(Ⅰ)若 ,求曲线 在点 处的的切线方程;
(Ⅱ)若 对任意 恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。
第一问中,利用当时,.
因为切点为(), 则,
所以在点()处的曲线的切线方程为:
第二问中,由题意得,即即可。
Ⅰ)当时,.
,
因为切点为(), 则,
所以在点()处的曲线的切线方程为:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由题意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值缩小范围的均给4分)
,
因为,所以恒成立,
故在上单调递增, ……12分
要使恒成立,则,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)当时,在上恒成立,
故在上单调递增,
即. ……10分
(2)当时,令,对称轴,
则在上单调递增,又
① 当,即时,在上恒成立,
所以在单调递增,
即,不合题意,舍去
②当时,, 不合题意,舍去 14分
综上所述:
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com