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    题目列表(包括答案和解析)

    有时可用函数f(x)＝描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N+)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．

    (1)证明：当x≥7时，掌握程度的增加量f(x＋1)－f(x)总是下降；

    (2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115，121]，(121，127]，(127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85％，请确定相应的学科．

    分析：根据已知条件作差，结合综合法可以确定作差所得的函数为减函数，从而得出结论；又根据函数模型代入数据可以解得参数a的近似值，通过对近似值所在区间加以判断并选择相应的学科．

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    通过计算可得下列等式：22-12=2×1+1，32-22=2×2+1，42-32=2×3+1，┅┅，（n+1）2-n2=2×n+1
    将以上各式分别相加得：（n+1）2-12=2×（1+2+3+…+n）+n，即：1+2+3+…+n=
    n(n+1)2

    类比上述求法：请你求出12+22+32+…+n2的值（要求必须有运算推理过程）．

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    小明参加一次智力问答比赛，比赛共设三关．第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关．第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为100、300、500元的奖励．小明对三关中每个问题回答正确的概率依次为
    4
    5
    、
    3
    4
    、
    2
    3
    ，且每个问题回答正确与否相互独立．
    （1）求小明过第一关但未过第二关的概率；
    （2）用ξ表示小明所获得奖品的价值，求ξ的分布列和期望．

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    小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品（不重复得奖），小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为
    4
    5
    ，
    3
    4
    ，
    2
    3
    ，且每个问题回答正确与否相互独立．
    （1）求小王过第一关但未过第二关的概率；
    （2）用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望．

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    通过计算可得下列等式：
    22-12=2×1+1；
    32-22=2×2+1；
    42-32=2×3+1；
    …；
    （n+1）2-n2=2n+1
    将以上各式相加得：（n+1）2-12=2×（1+2+3+…+n）+n
    所以可得：1+2+3+…+n=
    n(n+1)
    2
    ．
    类比上述求法：请你求出13+23+33+…+n3的值．（提示：12+22+32+…+n2=
    n(n+1)(2n+1)
    6
    ）

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