已知函数f(x)=

1-x

ax

+lnx（注：ln2≈0.693）
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（2）当a=1时，若直线y=b与函数y=f（x）的图象在[

1

2

，2]上有两个不同交点，求实数b的取值范围：
（3）求证：对大于1的任意正整数n，lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

已知函数f(x)=

1-x

x

+lnx
（1）求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；（参考数据：ln2≈0.7）
（2）求证：ln

n

n-1

＞

1

n

；
（3）求证：对大于1的任意正整数n，都有 lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．