已知中心在原点O，焦点F₁、F₂在x轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线的焦点为F₁.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用。第一问中，设出椭圆的方程，然后结合抛物线的焦点坐标得到，又因为，这样可知得到。第二问中设直线l的方程为y=-x+m与椭圆联立方程组可以得到

，再利用可以结合韦达定理求解得到m的值和圆p的方程。

解：(Ⅰ)设椭圆E的方程为

①………………………………1分

  ②………………２分

  ③       由①、②、③得a²=12,b²=6…………3分

所以椭圆E的方程为…………………………4分

(Ⅱ)依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m，……………5分

 代入椭圆E方程，得…………………………6分

………………………7分

、………………8分

………………………9分

……………………………10分

    当m=3时，直线l方程为y=-x+3，此时，x₁ +x₂=4，圆心为（2，1），半径为2，

圆P的方程为（x-2）²+(y-1)²=4；………………………………11分

同理，当m=－3时，直线l方程为y=-x－3，

圆P的方程为（x+2）²+(y+1)²=4

 

如图，已知直线（）与抛物线：和圆：都相切，是的焦点．

（Ⅰ）求与的值；

（Ⅱ）设是上的一动点，以为切点作抛物线的切线，直线交轴于点，以、为邻边作平行四边形，证明：点在一条定直线上；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记点所在的定直线为，    直线与轴交点为，连接交抛物线于、两点，求△的面积的取值范围．

【解析】第一问中利用圆： 的圆心为，半径．由题设圆心到直线的距离．  

即，解得（舍去）

设与抛物线的相切点为，又，得，．     

代入直线方程得：，∴    所以，

第二问中，由（Ⅰ）知抛物线方程为，焦点．   ………………（2分）

设，由（Ⅰ）知以为切点的切线的方程为．   

令，得切线交轴的点坐标为    所以，，    ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形

∴ 因为是定点，所以点在定直线

第三问中，设直线，代入得结合韦达定理得到。

解：（Ⅰ）由已知，圆： 的圆心为，半径．由题设圆心到直线的距离．  

即，解得（舍去）．     …………………（2分）

设与抛物线的相切点为，又，得，．     

代入直线方程得：，∴    所以，．      ……（2分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，焦点．   ………………（2分）

设，由（Ⅰ）知以为切点的切线的方程为．   

令，得切线交轴的点坐标为    所以，，    ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形，

∴ 因为是定点，所以点在定直线上．…（2分）

（Ⅲ）设直线，代入得，  ……）得，                 ……………………………     （2分）

，

．△的面积范围是