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题目列表(包括答案和解析)

(本小题满分12分)二次函数的图象经过三点.

(1)求函数的解析式(2)求函数在区间上的最大值和最小值

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(本小题满分12分)已知等比数列{an}中, 

   (Ⅰ)求数列{an}的通项公式an

   (Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,证明:

   (Ⅲ)设,证明:对任意的正整数n、m,均有

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(本小题满分12分)已知函数,其中a为常数.

   (Ⅰ)若当恒成立,求a的取值范围;

   (Ⅱ)求的单调区间.

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(本小题满分12分)

甲、乙两篮球运动员进行定点投篮,每人各投4个球,甲投篮命中的概率为,乙投篮命中的概率为

   (Ⅰ)求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率;

   (Ⅱ)若规定每投篮一次命中得3分,未命中得-1分,求乙所得分数η的概率分布和数学期望.

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(本小题满分12分)已知是椭圆的两个焦点,O为坐标原点,点在椭圆上,且,圆O是以为直径的圆,直线与圆O相切,并且与椭圆交于不同的两点A、B.

   (1)求椭圆的标准方程;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

   (2)当时,求弦长|AB|的取值范围.

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一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.

1-5:DBADC; 6-10:BACDC; 11-12:BC.

二、填空题:本大题共4个小题,每小题4分,共16分.

13.1或; 14.-4; 15.1; 16.6.

三、解答题:本大题共6个小题,共74分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.解:(Ⅰ)∵

,????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

(Ⅱ)∵

,∴,当且仅当时取"=".??????????? 8分

,∴,?????????????????????????????????????????? 10分

,当且仅当时取"=".

故△ABC面积取最大值为.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

 

18.解:(Ⅰ)设袋中有黑球n个,则每次取出的一个球是黑球的概率为,       3分

设“连续取两次,都是黑球”为事件A,∴,????????????????????????????? 5分

,∴.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,每次取出一个球,取到红球的概率是.????????????????????????????? 7分

设“连续取4次球,取到红球恰为2次”为事件B,“连续取4次球,取到红球恰为3次”为事件C,

;??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴取到红球恰为2次或3次的概率为

故连续取4次球,取到红球恰为2次或3次的概率等于.???????????????????????????????????? 12分

 

19.(Ⅰ)证明:∵四边形AA1C1C是菱形,∴AA1=A1C1=C1C=CA=1,∴△AA1B是等边三角形,设O是AA1的中点,连接BO,则BO⊥AA1.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵侧面ABB1A1⊥AA1C1C,∴BO⊥平面AA1C1C,菱形AA1C1C面积为,知C到AA1的距离为,∴△AA1C1是等边三角形,且C1O⊥AA1,又C1O∩BO=O.

∴AA1⊥面BOC1,又BC1Ì面BOC1.∴AA1⊥BC1.???????????????????????????????????????????? 4分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知OA、OC1、OB两两垂直,以O为原点,建立如图空间直角坐标系,则.则.?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

是平面ABC的一个法向量,

,则.设A1到平面ABC的距离为d.

.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知平面ABC的一个法向量是,又平面ACC1的一个法向量.∴.?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴二面角B-AC-C1的余弦值是.???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

 

20.解:(Ⅰ)证明:时,;????????????????????????????????????????????????? 1分

时,,所以,????????????????????????????????????????? 2分

即数列是以2为首项,公差为2 的等差数列.????????????????????????????????????????????? 3分

,?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

时,,当时,.?????????????????????????????? 5分

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

(Ⅱ)当时,,结论成立.??????????????????????????????????????????????? 7分

时,????????????????????? 8分

????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

.?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

综上所述:.?????????????????????????????????????????????????????? 12分

 

21.解:(Ⅰ)∵,∴.比较系数得.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

,令,得

x

1

2

+

0

-

0

+

0

-

∴函数有极大值,极小值.?????????????????? 4分

∵函数在区间上存在极值,

???????????????????????????????????????????? 5分

解得

故实数.??????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

(Ⅲ)函数的图象与坐标轴无交点,有如下两种情况:

(?)当函数的图象与x轴无交点时,必须有:

???????????????????????????????????????? 7分

,函数的值域为

解得.??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

(?)当函数的图象与y轴无交点时,必须有:

有意义,???????? 9分

解得.????????????????????????????????????????? 10分

由(?)、(?)知,p的范围是

故实数p的取值范围是.???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22.解:(Ⅰ)设

.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

,∴,∴,∴.??????????????????????????? 4分

则N(c,0),M(0,c),所以

,则. ???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

∴椭圆的方程为.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

(Ⅱ)∵圆O与直线l相切,则,即,????????????????????????????????? 7分

消去y得

∵直线l与椭圆交于两个不同点,设

,?????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

,???????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

.????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

.???????????????????????????????????????? 11分

(或).

,则

∴S关于u在区间单调递增,又,?????????????????????????????? 13分

.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分

 

 

 


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