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如图，已知椭圆C：

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（0，c）、F₂（0，-c）（c＞0），抛物线P：x²=2py（p＞0）的焦点与F₁重合，过F₂的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，与椭圆C相交于A、B两点，且

F2B

=λ

AF2

．
（1）求证：切线l的斜率为定值；
（2）若动点T满足：

ET

=μ(

EF1

+

EF2

)，μ∈(0，

1

2

)，且

ET

•

OT

的最小值为-

5

4

，求抛物线P的方程；
（3）当λ∈[2，4]时，求椭圆离心率e的取值范围．

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如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，其上顶点为A．已知△F₁AF₂是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记

MQ

=-λ•

QN

若在线段MN上取一点R，使得

MR

=λ•

RN

，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．

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如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点，右焦点分别为A、F，右准线为m．圆D：x²+y²+x-3y-2=0．
（1）若圆D过A、F两点，求椭圆C的方程；
（2）若直线m上不存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围．
（3）在（1）的条件下，若直线m与x轴的交点为K，将直线l绕K顺时针旋转

π

4

得直线l，动点P在直线l上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值．

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12：BC.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

13．1或； 14．-4； 15．1； 16．6．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）∵，

∴，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，当且仅当时取＂＝＂．??????????? 8分

∵，∴，?????????????????????????????????????????? 10分

∴，当且仅当时取＂＝＂．

故△ABC面积取最大值为．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）设袋中有黑球n个，则每次取出的一个球是黑球的概率为，       3分

设“连续取两次，都是黑球”为事件A，∴，????????????????????????????? 5分

∴，∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，每次取出一个球，取到红球的概率是．????????????????????????????? 7分

设“连续取4次球，取到红球恰为2次”为事件B，“连续取4次球，取到红球恰为3次”为事件C，

∴；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴取到红球恰为2次或3次的概率为．

故连续取4次球，取到红球恰为2次或3次的概率等于.???????????????????????????????????? 12分

19．（Ⅰ）证明：∵四边形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等边三角形，设O是AA₁的中点，连接BO，则BO⊥AA₁．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面积为，知C到AA₁的距离为，，∴△AA₁C₁是等边三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．???????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，．则，，，．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

设是平面ABC的一个法向量，

则即

令，则．设A₁到平面ABC的距离为d．

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，又平面ACC₁的一个法向量．∴．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ）证明：时，，；????????????????????????????????????????????????? 1分

时，，所以，????????????????????????????????????????? 2分

即数列是以2为首项，公差为2 的等差数列．????????????????????????????????????????????? 3分

∴，，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

当时，，当时，．?????????????????????????????? 5分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）当时，，结论成立．??????????????????????????????????????????????? 7分

当时，????????????????????? 8分

＝

????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

综上所述：．?????????????????????????????????????????????????????? 12分

21．解：（Ⅰ）∵，∴．比较系数得，，，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

∴，，，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，令，得或或．

x

1

2

+

0

-

0

+

0

-

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄋ

∴函数有极大值，，极小值．?????????????????? 4分

∵函数在区间上存在极值，

∴或或???????????????????????????????????????????? 5分

解得或或．

故实数．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅲ）函数的图象与坐标轴无交点，有如下两种情况：

（?）当函数的图象与x轴无交点时，必须有：

即???????????????????????????????????????? 7分

而，函数的值域为，

∴解得．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（?）当函数的图象与y轴无交点时，必须有：

即而有意义，???????? 9分

∴即解得．????????????????????????????????????????? 10分

由（?）、（?）知，p的范围是，

故实数p的取值范围是．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）设，，，，

，，，，

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵，∴，∴，∴．??????????????????????????? 4分

则N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，则，． ???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

∴椭圆的方程为．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，则，即,????????????????????????????????? 7分

由消去y得．

∵直线l与椭圆交于两个不同点，设，

，

∴，，?????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

∴，

由，???????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

，．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

．???????????????????????????????????????? 11分

（或）．

设，则，，，

∴S关于u在区间单调递增，又，，?????????????????????????????? 13分

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分