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据IEC（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测算，风能风区分类标准如下：

假设投资A项目的资金为（≥0）万元，投资B项目资金为（≥0）万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利的可能性为，亏损的可能性为；位于二类风区的B项目获利的可能性为，亏损的可能性是，不赔不赚的可能性是.
（1）记投资A，B项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，；
（2）某公司计划用不超过万元的资金投资于A，B项目，且公司要求对A项目的投
资不得低于B项目,根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利
润之和的最大值．

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指针位置	A区域	B区域	C区域
返存金额（单位：元）	60	30

五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如
图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．（假定指针等可能地停在任一位置，指针落在区域的边界时，重新转一次）指针所在的区域及对应的返劵金额见右上表．
例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．
（1）已知顾客甲消费后获得n次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为p，每次转动转盘的结果相互独立，设ξ为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，ξ的数学期望，标准差，求n、p的值；
（2）顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为η（元）．求随机变量η的分布列和数学期望．

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

13．3； 14．-4； 15．1； 16．．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）∵l₁∥l₂，，

∴，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∴，

∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，当且仅当时取＂＝＂．??????????? 8分

∵，∴，?????????????????????????????????????????? 10分

∴，当且仅当时取＂＝＂．

故△ABC面积取最大值为．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3．

①三次取球均出现最大数字为3的概率；??????????????????????????????????????? 1分

②三次取球中有2次出现最大数字3的概率；???????????????????? 3分

③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率．????????????????? 5分

∴P(ξ=3)=P₁＋P₂＋P₃=．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）在ξ＝k时, 利用（Ⅰ）的原理可知：

（k=1、2、3、4）．???????? 8分

则ξ的概率分布列为：

ξ

1

2

3

4

P

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴ξ的数学期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．???????????????????????????????? 12分

19．（Ⅰ）证明：∵四边形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等边三角形，设O是AA₁的中点，连接BO，则BO⊥AA₁． 2分

∵侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面积为，知C到AA₁的距离为，，∴△AA₁C₁是等边三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．???????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，．则，，，．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

设是平面ABC的一个法向量，

则即

令，则．设A₁到平面ABC的距离为d．

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，又平面ACC₁的一个法向量．   9分

∴．???????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ），对称轴方程为，故函数在[0,1]上为增函数，∴．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

当时，．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∵            ①

∴       ②

②-①得，即，?????????????????????????????????????????????????? 4分

则，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．

∴，∴．?????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵，∴．

∵???????????????????????????????????????????????????????? 7分

可知：当时，；当时，；当时，．

即?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

可知存在正整数或6，使得对于任意的正整数n，都有成立．???????????? 12分

21．解：（Ⅰ）设，，，

，，，

，，

．∵，

∴，∴，∴．??????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

则N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，则，．

∴椭圆的方程为．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，则，即,????????????????????????????????? 5分

由消去y得．

∵直线l与椭圆交于两个不同点，设，

，

∴，，???????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

∴，

由，，．?????????????????? 8分

．???????????????????????????????????????? 9分

（或）．

设，则，，，

令，则，

∴在时单调递增，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴S关于μ在区间单调递增，，，

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

（或，

∴S关于u在区间单调递增，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∵，，．）????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）因为，，则，     1分

当时，；当时，．

∴在上单调递增；在上单调递减，

∴函数在处取得极大值．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵函数在区间（其中）上存在极值，

∴解得．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）不等式，即为，?????????????????????????????????????????? 4分

记，∴，??????? 5分

令，则，∵，∴，在上递增，

∴，从而，故在上也单调递增，

∴，

∴．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，??????????? 8分

令则，????????????????????????????????????????????????????? 9分

∴，

，

，

………

，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

叠加得：

．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

则，

∴.????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分