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如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点．(1，

2

2

)，离心率为

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂．点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜线分别为k₁、k₂．①证明：

1

k1

-

3

k2

=2；②问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

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已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5．
（I）求抛物线G的方程；
（II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x²+（y-1）²=1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|•|BD|为定值；
（III）过A、B分别作抛物G的切线l₁，l₂且l₁，l₂交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．

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已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如图），而A'、B'、C'、D'分别把AB、BC、CD、DA分为m：n，设AB=1．
（1）求A'B'C'D'的面积；
（2）求证A'B'C'D'的面积不小于

1

2

．

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

13．3； 14．-4； 15．1； 16．．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）∵l₁∥l₂，，

∴，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∴，

∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，当且仅当时取＂＝＂．??????????? 8分

∵，∴，?????????????????????????????????????????? 10分

∴，当且仅当时取＂＝＂．

故△ABC面积取最大值为．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3．

①三次取球均出现最大数字为3的概率；??????????????????????????????????????? 1分

②三次取球中有2次出现最大数字3的概率；???????????????????? 3分

③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率．????????????????? 5分

∴P(ξ=3)=P₁＋P₂＋P₃=．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）在ξ＝k时, 利用（Ⅰ）的原理可知：

（k=1、2、3、4）．???????? 8分

则ξ的概率分布列为：

ξ

1

2

3

4

P

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴ξ的数学期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．???????????????????????????????? 12分

19．（Ⅰ）证明：∵四边形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等边三角形，设O是AA₁的中点，连接BO，则BO⊥AA₁． 2分

∵侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面积为，知C到AA₁的距离为，，∴△AA₁C₁是等边三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．???????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，．则，，，．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

设是平面ABC的一个法向量，

则即

令，则．设A₁到平面ABC的距离为d．

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，又平面ACC₁的一个法向量．   9分

∴．???????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ），对称轴方程为，故函数在[0,1]上为增函数，∴．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

当时，．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∵            ①

∴       ②

②-①得，即，?????????????????????????????????????????????????? 4分

则，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．

∴，∴．?????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵，∴．

∵???????????????????????????????????????????????????????? 7分

可知：当时，；当时，；当时，．

即?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

可知存在正整数或6，使得对于任意的正整数n，都有成立．???????????? 12分

21．解：（Ⅰ）设，，，

，，，

，，

．∵，

∴，∴，∴．??????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

则N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，则，．

∴椭圆的方程为．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，则，即,????????????????????????????????? 5分

由消去y得．

∵直线l与椭圆交于两个不同点，设，

，

∴，，???????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

∴，

由，，．?????????????????? 8分

．???????????????????????????????????????? 9分

（或）．

设，则，，，

令，则，

∴在时单调递增，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴S关于μ在区间单调递增，，，

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

（或，

∴S关于u在区间单调递增，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∵，，．）????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）因为，，则，     1分

当时，；当时，．

∴在上单调递增；在上单调递减，

∴函数在处取得极大值．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵函数在区间（其中）上存在极值，

∴解得．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）不等式，即为，?????????????????????????????????????????? 4分

记，∴，??????? 5分

令，则，∵，∴，在上递增，

∴，从而，故在上也单调递增，

∴，

∴．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，??????????? 8分

令则，????????????????????????????????????????????????????? 9分

∴，

，

，

………

，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

叠加得：

．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

则，

∴.????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分