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（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
（Ⅰ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球恰有1个为黑球”为事件A；“从乙盒内取出的2个球都是黑球”为事件B，求在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；
（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望。

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三、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

B

B

D

B

D

A

B

C

B

四、填空题

13．2     14. 31    15.     16.  2.

三、解答题

17．17．解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

（Ⅱ）由解得

∴ 的单调递增区间为。

18．（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件．由于事件相互独立，且

，，

故取出的4个球均为红球的概率是

．

（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件．由于事件互斥，且

，．

故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为

．

19．（Ⅰ）取DC的中点E.

∵ABCD是边长为的菱形,，∴BE⊥CD.

∵平面, BE平面，∴ BE.

∴BE⊥平面PDC.∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角. 

∵BE=，PE=,∴==.  

（Ⅱ）连接AC、BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以AO⊥BD.

∵平面, AO平面，

∴ PD. ∴AO⊥平面PDB.

作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB.

故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.

∵AO=，OF=，∴=.

20．解：（1）令得所求增区间为，。

（2）要使当时恒成立，只要当时 。

由（1）知

当时，是增函数，；

当时，是减函数，；

当时，是增函数，

由，因此故。

21. 证明：由是关于x的方程的两根得

。

，

是等差数列。

（2）由（1）知

。

。

又符合上式， 。

（3） ①

  ②

①―②得 。

。

22． （1）∵

∴ 

令，∴或

若，

在点附近，当时，；当时，

∴是函数的极小值点，极小值为；

在点附近，当时，；当时，

∴是函数的极大值点，极大值为

若，易知，

是函数的极大值点，极大值为；

是函数的极小值点，极小值为

（2）若在上至少存在一点使得成立，

则在上至少存在一解，即在上至少存在一解

由（1）知，

当时，函数在区间上递增，且极小值为

∴此时在上至少存在一解； 

当时，函数在区间上递增，在上递减，

∴要满足条件应有函数的极大值，即

综上，实数的取值范围为或。