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设A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内．
（此题不要求在答题卡上画图）

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一、选择题

1 B 2 C     3 A     4 D     5 C     6 D     7 B     8 C     9 A     10 D

二、填空题

11 192      12 286      13      14      15 840      16

三、解答题

17 （本题12分）

解：（I）

               2分

（II）

                   8分

由已知条件

根据正弦定理，得                10分

           12分

18 （本题12分）

解：（I）在7人中选出3人，总的结果数是种，       （2分）

记“被选中的3人中至多有1名女生”为事件A，则A包含两种情形：

①被选中的是1名女生，2名男生的结果数是，

②被选中的是3名男生的结果数是              4分

至多选中1名女生的概率为      6分

（II）由题意知随机变量可能的取值为：0，1，2，3，则有

，

           8分

∴

0

1

2

3

P

10分

∴的数学期望       12分

19 （本题12分）

解：（I）连接PO，以OA，OB，OP所在的直线为x轴，y轴，z轴

建立如图所示的空间直角坐标系。                          2分

∵正四棱锥的底面边长和侧棱长都是2。

∴

∴

（II）∵

∴是平面PDB的一个法向量。               8分

由（I）得

设平面BMP的一个法向量为

则由，得

，不妨设c=1

得平面BMP的一个法向量为          10分

∵二面角M―PB―D小于90°

∴二面角M―PB―D的余弦值为              12分

20 （本题12分）

解：（I）由已知得

               2分

由，得                4分

即。解得k=50或（舍去）

                            6分

（II）由，得

             8分

             9分

是等差数列

则

             11分

          12分

21 （本题14分）

解：（I）依题意得

              2分

把

解得

∴椭圆的方程为           4分

（II）由（I）得，设，如图所示，

∵M点在椭圆上，

∴        ①

∵M点异于顶点A、B，

∴

由P、A、M三点共线，可得，

从而         7分

∴     ②          8分

将①式代入②式化简得          10分

∵

∴           12分

于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

∴点B在以MN为直径的圆内。             14分

22 （本题14分）

解：（I），

令            2分

而

∴当         4分

（II）设函数g(x)在[0，2]上的值域是A，

∵若对任意

∴            6分

①当，

∴函数上单调递减。

∵

∴；             8分

②当

令（舍去）        9分

（i）当时，的变化如下表：

（ii）当

∴函数g(x)在（0，2）上单调递减。

综上可知，实数a的取值范围是