题目列表(包括答案和解析)
若有穷数列
（
是正整数），满足
，
，
，
，即
（
是正整数，且
），就称该数列为“对称数列”．
（1）已知数列
是项数为7的对称数列，且
成等差数列，
，试写出的每一项．
（2）已知
是项数为
的对称数列，且
构成首项为50，公差为
的等差数列，数列的前
项和为
，则当
为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数
，试写出所有项数不超过
的对称数列，使得
成为数列中的连续项；当
时，试求其中一个数列的前2008项和
．
若有穷数列
（
是正整数），满足
，
，
，
，即
（
是正整数，且
），就称该数列为“对称数列”．
（1）已知数列
是项数为7的对称数列，且
成等差数列，
，试写出的每一项．
（2）已知
是项数为
的对称数列，且
构成首项为50，公差为
的等差数列，数列的前
项和为
，则当
为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数
，试写出所有项数不超过
的对称数列，使得
成为数列中的连续项；当
时，试求其中一个数列的前2008项和
．
的有穷数列数集
，记
，即
为
、
、
、
中的最大值，并称数列
是
的控制数列.如
、
、
、
、的控制数列是、、、、.的控制数列为、、
、、，写出所有的；是的控制数列，满足
（
为常数，
、、、）.求证：
.一、选择题（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
A
D
C
D
B
C
A
二、填空题（每小题4分，共24分）
11 
12 10 13 144
14 
15 
16 540
三、 解答题（共76分，以下各题文累积得分，其他解法请相应给分）
17解：(I)由题意得
，即
，
，……3分
又
，
，……4分
……6分
（II）
，
于是
又
……8分
又
……10分
……12分
18 解：(I) 最大编号
分别为3，4，5，6。
，……2分
……4分
，……6分 
……8分，即分布列为
3
4
5
6
（II）的数字期望
……10分
的方差
……12分
19 解：(I)证明：连结
是长方体，
面
又
面，
，又是正方形，
面
，即
……3分
又
，
……6分
（II）如图，以
为原点建系，由题意的
……6分
于是
，设
面
不妨设
由
……8分
设
面
，不妨设
……9分
若
与
的夹角
，则
……11分
据分析二面角
是锐角，
二面角的余弦值是
……12分
20 解：(I)由题意知
故
……1分
又
设椭圆中心
关于直线
的对称点为
，
于是
方程为
……2分
由
得线段的中点为（2，-1），从而的横坐标为4
故
椭圆的方程为
=1……4分
（II）由题意知直线
存在斜率，设直线的方程为
并整理得
①……6分
由
，得
又
不合题意
……8分
设点
，则
由①知
……9分
直线
方程为
……10分
令
得
，将
代入
整理得 
，再将
，
代入计算得
直线 
轴相交于顶点（1，0），……12分
21解：(I)
……2分
① 
若
,则当
或
时
时，
内是增函数，在 
内是减函数 ，……4分
② 若
内是增函数，在
内是减函数……6分
（II）由题意知
得
……7分
恰有一根（含重根 ）
……8分
又
的值域为
和
内是增函数，
在
内是增函数，
由题意的
解得
……12分
当
内是增函数，在
内是增函数
由题意得
解得
综上知实数
的取值范围为
……14分
22 解（I）设
公差为
，由
得
……1分
数列
为3，5，7，9，7，5，3，……2分
（II）
……3分
又
=
……4分
（III）所有可能的“对称数列”是①1，2，22
②
③
④
……9分
当
对于②当
当
对于③当
时，
当
分
对于④当时，
当
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