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    (Ⅲ)设,试问是否为定值,若为定值.请求出的值,若不为定值.请说明理由. 得分评卷人 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （文）设F1、F2分别为椭圆C：
    x2
    m2
    +
    y2
    n2
    =1    （m＞0，n＞0且m≠n）的两个焦点．
    （1）若椭圆C上的点A（1，
    3
    2
    ）到两个焦点的距离之和等于4，求椭圆C的方程．
    （2）如果点P是（1）中所得椭圆上的任意一点，且
    PF1
    •
    PF2
    =0    ，求△PF1F2的面积．
    （3）若椭圆C具有如下性质：设M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为KQM、KQN，那么KQM和KQN之积是与点Q位置无关的定值．试问：双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）是否具有类似的性质？并证明你的结论．通过对上面问题进一步研究，请你概括具有上述性质的二次曲线更为一般的结论，并说明理由．

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    （2012•嘉定区三模）设向量
    a
    =(x ， 2)    ，
    b
    =(x+n ， 2x-1)    （n∈N*），函数y=
    a
    •
    b
    在x∈[0，1]上的最小值与最大值的和为an，又数列{bn}满足b1=1，b1+b2+…+bn=(
    9
    10
    )n-1    ．
    （1）求证：an=n+1；
    （2）求数列{bn}的通项公式；
    （3）设cn=-an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有cn≤ck成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．

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    设函数，是定义域为R上的奇函数．

    （1）求的值，并证明当时，函数是R上的增函数；

    （2）已知，函数，，求的值域；

    （3）若，试问是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．

     

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    设函数，是定义域为R上的奇函数．
    （1）求的值，并证明当时，函数是R上的增函数；
    （2）已知，函数，，求的值域；
    （3）若，试问是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．

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    设函数，是定义域为R上的奇函数．
    （1）求的值，并证明当时，函数是R上的增函数；
    （2）已知，函数，，求的值域；
    （3）若，试问是否存在正整数，使得对恒成立？若存在，请求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．

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    一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

    1．D      2．A      3．B 　    4．C       5．D　     6．B 　   7．C　     8． A

    二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

    9．点               10．               11. 6 , 60

    12．                13．                   14． ,

    注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

    三、解答题（本大题共6小题，共80分）

    15. （本小题满分13分）

    解:（Ⅰ）设等比数列的公比为,依题意有,    (1)

    又,将(1)代入得.所以.  ……………3分

    于是有                             ………………4分

    解得或                             ………………6分

    又是递增的,故.                   ………………7分

    所以.                                         ………………9分

       (Ⅱ).                                …………………11分

    故.                                       ………………13分

    16.(本小题满分13分)

    解:（Ⅰ）在△中,由得.

       所以.            …………………5分

    （Ⅱ）由得.  ………………………………….9分

    又,=;          ………………………11分

    于是有,解得.           ……………………………13分

     

    17．（本小题满分14分）

    解法一：（Ⅰ）∵正方形，∴

    又二面角是直二面角，

    ∴⊥平面.

    ∵平面，

    ∴⊥.

    又，，是矩形，是的中点，

    ∴=，，=，

    ∴⊥又=，

    ∴⊥平面，

    而平面，故平面⊥平面.          ……………………5分

     （Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知平面⊥平面，且交于，在平面内作⊥，垂足为，则⊥平面.

            ∴∠是与平面所成的角.

    ∴在Rt△中,=.  

     .                            

    即与平面所成的角为 .                 ………………………9分

       （Ⅲ）由（Ⅱ），⊥平面.作⊥，垂足为，连结，则⊥，

            ∴∠为二面角的平面角.                 …………….11分

    ∵在Rt△中，=，在Rt△中，.

    ∴在Rt△中，

    即二面角的大小为arcsin.    ………………………………14分

    解法二：

    如图，以为原点建立直角坐标系，

    则（0，0，0），（0，2，0），

    （0，2，2），（，，0），

    （，0，0）.

       （Ⅰ） =（，，0），=（，，0）,

             =（0，0，2），

    ∴?=（，，0）?（，，0）=0,

     ? =（，，0）?（0，0，2）= 0.

    ∴⊥，⊥，

    ∴⊥平面，又平面，故平面⊥平面.     ……5分

       （Ⅱ）设与平面所成角为.

            由题意可得=（，，0），=（0，2，2 ），=（，，0）.

            设平面的一个法向量为=（，，1），

            由.

              .

    ∴与平面所成角的大小为.            ……………..9分

       （Ⅲ）因=（1，－1，1）是平面的一个法向量，

            又⊥平面，平面的一个法向量=（，0，0），

            ∴设与的夹角为，得，

            ∴二面角的大小为.         ………………………………14分

    18. （本小题满分13分）

    解: (Ⅰ)由已知甲射击击中8环的概率为0.2,乙射击击中9环的概率为0.4,则所求事件的概率

           .                                     ………………4分

      (Ⅱ) 设事件表示“甲运动员射击一次,击中9环以上(含9环)”, 记“乙运动员射击1次,击中9环以上(含9环)”为事件,则

    .                           ………………………6分

    .                          ………………………8分

    “甲、乙两运动员各自射击两次,这4次射击中恰有3次击中9环以上(含9环)”包含甲击中2次、乙击中1次,与甲击中1次、乙击中2次两个事件,显然,这两个事件互斥.

    甲击中2次、乙击中1次的概率为

    ;            ……………………..10分

    甲击中1次、乙击中2次的概率为

    .             …………………12分

    所以所求概率为.                      

    答: 甲、乙两运动员各自射击两次,这4次射击中恰有3次击中9环以上的概率为.  ……….13分

                                                          

    19．（本小题满分14分）

    解: (Ⅰ) 由已知 , 又圆心,则 .故   .

      所以直线与垂直.                        ………………………3分

            (Ⅱ) 当直线与轴垂直时,易知符合题意;        ………………4分

    当直线与轴不垂直时,设直线的方程为.   …………5分

    由于,所以

    由,解得.         ………………7分

    故直线的方程为或.          ………………8分

             (Ⅲ)当与轴垂直时,易得,,又则

    ,故.                    ………………10分

    当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得

    .则

    ,即,

    .又由得,

    则.

    故.

    综上,的值与直线的斜率无关,且.    …………14分

    另解一:连结,延长交于点,由(Ⅰ)知.又于,

    故△∽△.于是有.

    由得

    故               ………………………14分

    另解二:连结并延长交直线于点,连结由(Ⅰ)知又,

    所以四点

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