题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分13分) 已知二项式
(1)求其展开式中第四项的二项式系数;
(2)求其展开式中第四项的系数 。
(本小题满分13分)某厂用甲、乙两种产品,已知生产1吨A产品,1吨B产品分别需要的甲乙原料数、可获得的利润及该厂现有原料数如表:
产品 所需原料 | A产品(t) | B产品(t) | 现有原料(t) |
甲(t) | 2 | 1 | 14 |
乙(t) | 1 | 3 | 18 |
利润(万元) | 5 | 3 |
|
(1)在现有原料下,A、B产品应各生产多少才能使利润最大?
(2)如果1吨B产品的利润增加到20万元,原来的最优解为何改变?
(3)如果1吨B产品的利润减少1万元,原来的最优解为何改变?
(4)1吨B产品的利润在什么范围,原最优解才不会改变?
(本小题满分13分)
某市物价局调查了某种治疗H1N1流感的常规药品在2009年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价格,调查发现,该药品的批发价格按月份以12元/盒为中心价随某一正弦曲线上下波动,且3月份的批发价格最高为14元/盒,7月份的批发价格最低为10元/盒.该药品在药店的销售价格按月份以14元/盒为中心价随另一正弦曲线上下波动,且5月份的销售价格最高为16元/盒,9月份的销售价格最低为12元/盒.
(Ⅰ)求该药品每盒的批发价格f(x)和销售价格g(x)关于月份的函数解析式;
(Ⅱ)假设某药店每月初都购进这种药品p 盒,且当月售完,求该药店在2009年哪些月份是盈利的?说明你的理由.
(本小题满分13分) 根据长沙市建设大河西的规划,市旅游局拟在咸嘉湖建立西湖生态文化公园. 如图,设计方案中利用湖中半岛上建一条长为的观光带AB,同时建一条连接观光带和湖岸的长为2
的观光游廊BC,且BC与湖岸MN(湖岸可看作是直线)的夹角为60°,BA与BC的夹角为150°,并在湖岸上的D处建一个观光亭,设CD=xkm(1<x<4).
(Ⅰ)用x分别表示tan∠BDC和tan∠ADM;
(Ⅱ)试确定观光亭D的位置,使得在观光亭D处观赏
观光带AB的视觉效果最佳.
(本小题满分13分)
已知椭圆的焦点为F1(-4,0),F2(4,0),过点F2且垂直于轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|BF1|+|BF2|=10,设点A,C为椭圆上不同两点,使得|AF2|,|BF2|,|CF2|成等差数列.
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程;
(Ⅱ) 求线段AC的中点的横坐标;
(Ⅲ)求线段AC的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围.
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.B 7.C 8. A
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.点
10.
11. 6 , 60
12.
13.
14.
,
注:两个空的填空题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设等比数列的公比为
,依题意有
, (1)
又,将(1)代入得
.所以
. ……………3分
于是有
………………4分
解得或
………………6分
又是递增的,故
. ………………7分
所以.
………………9分
(Ⅱ).
…………………11分
故.
………………13分
16.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)在△中,由
得
.
所以.
…………………5分
(Ⅱ)由得
. ………………………………….9分
又,
=
;
………………………11分
于是有,解得
.
……………………………13分
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17.(本小题满分14分)
解法一:(Ⅰ)∵正方形,∴
又二面角是直二面角,
∴⊥平面
.
∵平面
,
∴⊥
.
又,
,
是矩形,
是
的中点,
∴=
,
,
=
,
∴⊥
又
=
,
∴⊥平面
,
而平面
,故平面
⊥平面
.
……………………5分
(Ⅱ)如图,由(Ⅰ)知平面⊥平面
,且交于
,在平面
内作
⊥
,垂足为
,则
⊥平面
.
∴∠是
与平面
所成的角.
∴在Rt△中,
=
.
.
即与平面
所成的角为
.
………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ),⊥平面
.作
⊥
,垂足为
,连结
,则
⊥
,
∴∠为二面角
的平面角.
…………….11分
∵在Rt△中,
=
,在Rt△
中,
.
∴在Rt△中,
即二面角
的大小为arcsin
. ………………………………14分
解法二:
如图,以为原点建立直角坐标系
,
则(0,0,0),
(0,2
,0),
(0,2
,2
),
(
,
,0),
(
,0,0).
(Ⅰ) =(
,
,0),
=(
,
,0),
=(0,0,2
),
∴?
=(
,
,0)?(
,
,0)=0,
?
=(
,
,0)?(0,0,2
)= 0.
∴⊥
,
⊥
,
∴⊥平面
,又
平面
,故平面
⊥平面
. ……5分
(Ⅱ)设与平面
所成角为
.
由题意可得=(
,
,0),
=(0,2
,2
),
=(
,
,0).
设平面的一个法向量为
=(
,
,1),
由.
.
∴与平面
所成角的大小为
.
……………..9分
(Ⅲ)因=(1,-1,1)是平面
的一个法向量,
又⊥平面
,平面
的一个法向量
=(
,0,0),
∴设与
的夹角为
,得
,
∴二面角的大小为
.
………………………………14分
18. (本小题满分13分)
解: (Ⅰ)由已知甲射击击中8环的概率为0.2,乙射击击中9环的概率为0.4,则所求事件的概率
.
………………4分
(Ⅱ) 设事件表示“甲运动员射击一次,击中9环以上(含9环)”, 记“乙运动员射击1次,击中9环以上(含9环)”为事件
,则
.
………………………6分
.
………………………8分
“甲、乙两运动员各自射击两次,这4次射击中恰有3次击中9环以上(含9环)”包含甲击中2次、乙击中1次,与甲击中1次、乙击中2次两个事件,显然,这两个事件互斥.
甲击中2次、乙击中1次的概率为
;
……………………..10分
甲击中1次、乙击中2次的概率为
.
…………………12分
所以所求概率为.
答: 甲、乙两运动员各自射击两次,这4次射击中恰有3次击中9环以上的概率为. ……….13分
19.(本小题满分14分)
解: (Ⅰ) 由已知 , 又圆心
,则
.故
.
所以直线与
垂直.
………………………3分
(Ⅱ) 当直线与
轴垂直时,易知
符合题意; ………………4分
当直线与轴不垂直时,设直线
的方程为
. …………5分
由于,所以
由,解得
.
………………7分
故直线的方程为
或
.
………………8分
(Ⅲ)当与
轴垂直时,易得
,
,又
则
,故
.
………………10分
当的斜率存在时,设直线
的方程为
,代入圆的方程得
.则
,即
,
.又由
得
,
则.
故.
综上,的值与直线
的斜率无关,且
. …………14分
另解一:连结,延长交
于点
,由(Ⅰ)知
.又
于
,
故△∽△
.于是有
.
由得
故
………………………14分
另解二:连结并延长交直线
于点
,连结
由(Ⅰ)知
又
,
所以四点
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