题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分14分)
已知函数。
(1)证明:
(2)若数列的通项公式为
,求数列
的前
项和
;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)设数列满足:
,设
,
若(2)中的满足对任意不小于2的正整数
,
恒成立,
试求的最大值。
(本小题满分14分)已知,点
在
轴上,点
在
轴的正半轴,点
在直线
上,且满足
,
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)当点在
轴上移动时,求动点
的轨迹
方程;
(本小题满分14分)设函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若当时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(本小题满分14分)
已知,其中
是自然常数,
(1)讨论时,
的单调性、极值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数,使
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
(本小题满分14分)
设数列的前
项和为
,对任意的正整数
,都有
成立,记
。
(I)求数列的通项公式;
(II)记,设数列
的前
项和为
,求证:对任意正整数
都有
;
(III)设数列的前
项和为
。已知正实数
满足:对任意正整数
恒成立,求
的最小值。
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.B 7.C 8.A
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.
10.60 11.
12.(1) (2)
13.1, 14.
,
注:两个空的填空题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设等比数列的公比为
,依题意有
, (1)
又,将(1)代入得
.所以
.
于是有
………………3分
解得或
………………6分
又是递增的,故
.
………………7分
所以.
………………8分
(Ⅱ),
.
………………10分
故由题意可得,解得
或
.又
, …………….12分
所以满足条件的的最小值为13.
………………13分
16. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)由 且
,
所以.
…………………4分
于是. …………7分
(Ⅱ)由正弦定理可得,
所以.
…………………….10分
由得
.
………………11分
即,
解得.即
=7 .
…………13分
17.(本小题满分14分)
解法一:(Ⅰ)∵正方形,∴
又二面角是直二面角,
∴⊥平面
.
∵平面
,
∴⊥
.
又,
,
是矩形,
是
的中点,
∴=
,
,
=
,
∴⊥
又
=
,
∴⊥平面
,
而平面
,故平面
⊥平面
……………………5分
(Ⅱ)如图,由(Ⅰ)知平面⊥平面
,且交于
,在平面
内作
⊥
,垂足为
,则
⊥平面
.
∴∠是
与平面
所成的角.
……………………7分
∴在Rt△中,
=
.
.
即与平面
所成的角为
.
………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ),⊥平面
.作
⊥
,垂足为
,连结
,则
⊥
,
∴∠为二面角
的平面角. ……………………….11分
∵在Rt△中,
=
,在Rt△
中,
.
∴在Rt△中,
………13分
即二面角的大小为arcsin
.
………………………………14分
解法二:
如图,以为原点建立直角坐标系
,
则(0,0,0),
(0,2
,0),
(0,2
,2
),
(
,
,0),
(
,0,0).
(Ⅰ) =(
,
,0),
=(
,
,0),
=(0,0,2
),
∴?
=(
,
,0)?(
,
,0)=0,
?
=(
,
,0)?(0,0,2
)= 0.
∴⊥
,
⊥
,
∴⊥平面
,又
平面
,故平面
⊥平面
. ……5分
(Ⅱ)设与平面
所成角为
.
由题意可得=(
,
,0),
=(0,2
,2
),
=(
,
,0).
设平面的一个法向量为
=(
,
,1),
由.
.
∴与平面
所成角的大小为
.
……………..9分
(Ⅲ)因=(1,-1,1)是平面
的一个法向量,
又⊥平面
,平面
的一个法向量
=(
,0,0),
∴设与
的夹角为
,得
,
∴二面角的大小为
. ………………………………14分
18. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设事件表示甲运动员射击一次,恰好击中9环以上(含9环),则
.
……………….3分
甲运动员射击3次均未击中9环以上的概率为
.
…………………5分
所以甲运动员射击3次,至少有1次击中9环以上的概率为
.
………………6分
(Ⅱ)记乙运动员射击1次,击中9环以上为事件,则
…………………8分
由已知的可能取值是0,1,2.
…………………9分
;
;
.
的分布列为
0
1
2
0.05
0.35
0.6
………………………12分
所以
故所求数学期望为.
………………………13分
19. (本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由已知 ,故
,所以直线
的方程为
.
将圆心代入方程易知
过圆心
. …………………………3分
(Ⅱ) 当直线与
轴垂直时,易知
符合题意; ………………4分
当直线与轴不垂直时,设直线
的方程为
,由于
,
所以由
,解得
.
故直线的方程为
或
. ………………8分
(Ⅲ)当与
轴垂直时,易得
,
,又
则
,故
. 即
.
………………10分
当的斜率存在时,设直线
的方程为
,代入圆的方程得
.则
,即
,
.又由
得
,
则.
故.
综上,的值为定值,且
.
…………14分
另解一:连结,延长交
于点
,由(Ⅰ)知
.又
于
,
故△∽△
.于是有
.
由得
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