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    布列及数学期望. 得分评卷人 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    甲、乙两人参加奥运知识竞赛，假设甲、乙两人答对每题的概率分别为
    2
    3
    与
    3
    5
    ，且答对一题得1分，答不对得0分．
    （I）甲、乙两人各答一题，求两人得分之和ξ的分布列及数学期望；
    （II）甲、乙两人各答两题，每人每答一题记为一次，求这四次答题中至少有一次答对的概率．

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    （2013•浙江二模）某竞猜活动有4人参加，设计者给每位参与者1道填空题和3道选择题，答对一道填空题得2分，答对一道选择题得1分，答错得0分，若得分总数大于或等于4分可获得纪念品，假定参与者答对每道填空题的概率为
    1
    2
    ，答对每道选择题的概率为
    1
    3
    ，且每位参与者答题互不影响．
    （Ⅰ）求某位参与竞猜活动者得3分的概率；
    （Ⅱ）设参与者获得纪念品的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

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    （2013•天河区三模）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（a，b）（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．
    （Ⅰ）求某个家庭得分为（5，3）的概率？
    （Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？
    （Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及数学期望．

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    甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏比赛，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过10次，即经10次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），乙获胜的概率为q（q=1-p）．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经ξ次结束．
    （1）求ξ的分布列及数学期望Eξ．
    （2）求ξ的数学期望Eξ的取值范围．

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    如图,一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘,转盘停止转动时,箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动）,且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为（a,b）（假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动）

    （Ⅰ）求某个家庭得分为（5,3）的概率;

    （Ⅱ）若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．求某个家庭获奖的概率;

    （Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下,记获奖的家庭数为X,求X的分布列及数学期望．

     

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    一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

    1．A     2．D     3．D　    4．C     5．C　   6．B　   7．C　   8．A

    二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

    9．                  10．60                   11．   

    12．(1) (2)               13．1,                  14．,

    注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

    三、解答题（本大题共6小题，共80分）

    15．（本小题满分13分）

    解:（Ⅰ）设等比数列的公比为,依题意有,    (1)

    又,将(1)代入得.所以.

    于是有                             ………………3分

    解得或                             ………………6分

    又是递增的,故.                   ………………7分

    所以.                                         ………………8分

       (Ⅱ),.                     ………………10分

    故由题意可得,解得或.又, …………….12分

    所以满足条件的的最小值为13.                           ………………13分

    16. （本小题满分13分）

    解:（Ⅰ）由 且,

       所以.                     …………………4分

       于是. …………7分

      

    （Ⅱ）由正弦定理可得,

         所以.                                …………………….10分

    由得.         ………………11分

    即,

    解得.即=7 .                                           …………13分

    17．（本小题满分14分）

    解法一：（Ⅰ）∵正方形，∴

    又二面角是直二面角，

    ∴⊥平面.

    ∵平面，

    ∴⊥.

    又，，是矩形，是的中点，

    ∴=，，=，

    ∴⊥又=，

    ∴⊥平面，

    而平面，故平面⊥平面          ……………………5分

     （Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知平面⊥平面，且交于，在平面内作⊥，垂足为，则⊥平面.

            ∴∠是与平面所成的角.                ……………………7分

    ∴在Rt△中,=.  

     .  

    即与平面所成的角为 .                 ………………………9分

       （Ⅲ）由（Ⅱ），⊥平面.作⊥，垂足为，连结，则⊥，

            ∴∠为二面角的平面角.             ……………………….11分

    ∵在Rt△中，=，在Rt△中， .

    ∴在Rt△中，     ………13分

    即二面角的大小为arcsin.          ………………………………14分

     

    解法二：

    如图，以为原点建立直角坐标系，

    则（0，0，0），（0，2，0），

    （0，2，2），（，，0），

    （，0，0）.

       （Ⅰ） =（，，0），=（，，0）,

             =（0，0，2），

    ∴?=（，，0）?（，，0）=0,

     ? =（，，0）?（0，0，2）= 0.

    ∴⊥，⊥，

    ∴⊥平面，又平面，故平面⊥平面. ……5分

       （Ⅱ）设与平面所成角为.

            由题意可得=（，，0），=（0，2，2 ），=（，，0）.

            设平面的一个法向量为=（，，1），

            由.

              .

    ∴与平面所成角的大小为.            ……………..9分

       （Ⅲ）因=（1，－1，1）是平面的一个法向量，

            又⊥平面，平面的一个法向量=（，0，0），

            ∴设与的夹角为，得，

            ∴二面角的大小为.      ………………………………14分

    18. （本小题满分13分）

    解:（Ⅰ）设事件表示甲运动员射击一次,恰好击中9环以上(含9环),则

    .                            ……………….3分

    甲运动员射击3次均未击中9环以上的概率为

    .                            …………………5分

    所以甲运动员射击3次,至少有1次击中9环以上的概率为

    .                               ………………6分

        (Ⅱ)记乙运动员射击1次,击中9环以上为事件,则

                            …………………8分

    由已知的可能取值是0,1,2.                       …………………9分

    ;

    ;

    .

    的分布列为

    0

    1

    2

    0.05

    0.35

    0.6

                                                   ………………………12分

    所以

    故所求数学期望为.                          ………………………13分

    19. （本小题满分14分）

    解:（Ⅰ）由已知 ,故,所以直线的方程为.

          将圆心代入方程易知过圆心 .      …………………………3分

            (Ⅱ) 当直线与轴垂直时,易知符合题意;        ………………4分

    当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于,

    所以由,解得.

    故直线的方程为或.        ………………8分

            (Ⅲ)当与轴垂直时,易得,,又则

    ,故. 即.                   ………………10分

    当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得

    .则

    ,即,

    .又由得,

    则.

    故.

    综上,的值为定值,且.                …………14分

    另解一:连结,延长交于点,由(Ⅰ)知.又于,

    故△∽△.于是有.

    由得

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