题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分14分)
已知函数。
(1)证明:
(2)若数列的通项公式为,求数列 的前项和;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)设数列满足:,设,
若(2)中的满足对任意不小于2的正整数,恒成立,
试求的最大值。
(本小题满分14分)已知,点在轴上,点在轴的正半轴,点在直线上,且满足,. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)当点在轴上移动时,求动点的轨迹方程;
(Ⅱ)过的直线与轨迹交于、两点,又过、作轨迹的切线、,当,求直线的方程.(本小题满分14分)设函数
(1)求函数的单调区间;
(2)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3)若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根,求实数的取值范围。(本小题满分14分)
已知,其中是自然常数,
(1)讨论时, 的单调性、极值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数,使的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(本小题满分14分)
设数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立,记。
(I)求数列的通项公式;
(II)记,设数列的前项和为,求证:对任意正整数都有;
(III)设数列的前项和为。已知正实数满足:对任意正整数恒成立,求的最小值。
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.B 7.C 8.A
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9. 10.60 11.
12.(1) (2) 13.1, 14.,
注:两个空的填空题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设等比数列的公比为,依题意有, (1)
又,将(1)代入得.所以.
于是有 ………………3分
解得或 ………………6分
又是递增的,故. ………………7分
所以. ………………8分
(Ⅱ),. ………………10分
故由题意可得,解得或.又, …………….12分
所以满足条件的的最小值为13. ………………13分
16. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)由 且,
所以. …………………4分
于是. …………7分
(Ⅱ)由正弦定理可得,
所以. …………………….10分
由得. ………………11分
即,
解得.即=7 . …………13分
17.(本小题满分14分)
解法一:(Ⅰ)∵正方形,∴
又二面角是直二面角,
∴⊥平面.
∵平面,
∴⊥.
又,,是矩形,是的中点,
∴=,,=,
∴⊥又=,
∴⊥平面,
而平面,故平面⊥平面 ……………………5分
(Ⅱ)如图,由(Ⅰ)知平面⊥平面,且交于,在平面内作⊥,垂足为,则⊥平面.
∴∠是与平面所成的角. ……………………7分
∴在Rt△中,=.
.
即与平面所成的角为 . ………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ),⊥平面.作⊥,垂足为,连结,则⊥,
∴∠为二面角的平面角. ……………………….11分
∵在Rt△中,=,在Rt△中, .
∴在Rt△中, ………13分
即二面角的大小为arcsin. ………………………………14分
解法二:
如图,以为原点建立直角坐标系,
则(0,0,0),(0,2,0),
(0,2,2),(,,0),
(,0,0).
(Ⅰ) =(,,0),=(,,0),
=(0,0,2),
∴?=(,,0)?(,,0)=0,
? =(,,0)?(0,0,2)= 0.
∴⊥,⊥,
∴⊥平面,又平面,故平面⊥平面. ……5分
(Ⅱ)设与平面所成角为.
由题意可得=(,,0),=(0,2,2 ),=(,,0).
设平面的一个法向量为=(,,1),
由.
.
∴与平面所成角的大小为. ……………..9分
(Ⅲ)因=(1,-1,1)是平面的一个法向量,
又⊥平面,平面的一个法向量=(,0,0),
∴设与的夹角为,得,
∴二面角的大小为. ………………………………14分
18. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设事件表示甲运动员射击一次,恰好击中9环以上(含9环),则
. ……………….3分
甲运动员射击3次均未击中9环以上的概率为
. …………………5分
所以甲运动员射击3次,至少有1次击中9环以上的概率为
. ………………6分
(Ⅱ)记乙运动员射击1次,击中9环以上为事件,则
…………………8分
由已知的可能取值是0,1,2. …………………9分
;
;
.
的分布列为
0
1
2
0.05
0.35
0.6
………………………12分
所以
故所求数学期望为. ………………………13分
19. (本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由已知 ,故,所以直线的方程为.
将圆心代入方程易知过圆心 . …………………………3分
(Ⅱ) 当直线与轴垂直时,易知符合题意; ………………4分
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于,
所以由,解得.
故直线的方程为或. ………………8分
(Ⅲ)当与轴垂直时,易得,,又则
,故. 即. ………………10分
当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得
.则
,即,
.又由得,
则.
故.
综上,的值为定值,且. …………14分
另解一:连结,延长交于点,由(Ⅰ)知.又于,
故△∽△.于是有.
由得
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